基于El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的Lie对称性与守恒量*

张孝彩，张 毅

(1. 苏州科技大学数理学院，江苏 苏州 215009；2. 苏州科技大学土木工程学院，江苏 苏州 215011)

基于El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的Lie对称性与守恒量*

张孝彩1，张 毅2

(1. 苏州科技大学数理学院，江苏 苏州 215009；2. 苏州科技大学土木工程学院，江苏 苏州 215011)

研究基于El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的Lie对称性与守恒量。基于按Riemann-Liouville积分拓展的类分数阶变分问题导出El-Nabulsi模型的D’Alembert-Lagrange原理，得到系统的运动微分方程；给出分数阶Lie对称性的定义和判据，建立了Lie对称性确定方程，并提出广义Hojman定理，给出广义Hojman守恒量存在的条件及其形式；最后，建立了广义Noether定理，给出分数阶Lie对称性导致Noether守恒量的条件及其形式，并给出两个算例以说明结果的应用。

分数阶Lagrange系统；El-Nabulsi模型；Lie对称性；守恒量

Noether对称性总可以导致守恒量，而Lie对称性没有这种性质。Lie对称性寻找守恒量通常找到的是Noether守恒量[1]。1979年，Lutzky[2]将Lie方法引入动力学系统，研究了二阶动力学系统在时间和坐标的速度依赖的无限小变换下的不变性质，建立了Lie对称性与Noether守恒量之间的联系；1994年，赵跃宇[3]将其推广到非保守力学系统；1999年，梅凤翔[4]系统地阐述了约束力学系统的Lie对称性与Noether守恒量。1992年，Hojman[5]导出了一个新的守恒定理，其守恒量的构造仅取决于运动方程的对称变换，而没有用到系统的Lagrange或Hamilton结构。Lutzky[6]将此方法推广至Lagrange系统；梅凤翔[7-8]将Hojman定理拓展到相空间离散力学系统和广义Hamilton系统；张毅[9-10]研究了Birkhoff系统和广义经典力学系统的Lie对称性与Hojman守恒量；罗绍凯[11]给出了非完整力学系统的Hojman守恒量；张宏彬[12]得到了Birkhoff系统的一般Lie对称性导致的Hojman守恒量。关于Lie对称性与Hojman守恒量的研究已经取得一系列重要成果[13-15]。

分数阶微积分的发展可追溯至1695年，Riewe[16]于1996年首次把分数阶微积分应用于非保守系统的动力学建模。2005年，El-Nabulsi[17]基于Riemann-Liouville分数阶积分的定义提出了一个非保守动力学模型。该模型的新颖处体现在：分数阶时间积分仅引进一个实参数α，得到的方程形式简单仅依赖分数阶积分的阶，并不出现分数阶导数。至今，此方法已得到诸多成果[18-20]。本文将进一步研究基于El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的Lie对称性与守恒量。

1 基于按Riemann-Liouville积分拓展的类分数阶变分问题

左Riemann-Liouville分数阶积分定义为[17]：

(1)

求积分泛函

(2)

在固定边界条件

qs(τ1)=qs,1,qs(τ2)=qs,2

(s=1,…,n)

(3)

据变分理论知，泛函(2)在qs=qs(τ)取极值的必要条件为δS=0，即

(4)

(5)

将式(5)代入式(4)得

(6)

由于积分区间[τ1,τ2]的任意性，故有

(7)

式(7)可称为基于El-Nabulsi模型的D’Alembert-Lagrange原理。

对完整系统而言，δqs(s=1,…,n)是独立的，故由(7)得

(8)

方程(8)称为基于El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的Euler-Lagrange方程[17]，当α=1时，方程(8)退化为经典Lagrange系统的运动微分方程。

(9)

2 分数阶Lagrange系统的Lie对称性与广义Hojman守恒量

2.1 系统的Lie对称变换与确定方程

引入无限小群变换

(10)

其展开式为

(11)

式中ε为无限小参数，ξ0、ξs为无限小生成元。

引入无限小生成元向量

(12)

其一次扩展为

(13)

二次扩展为

(14)

方程(9)在无限小群变换(11)下的不变性归为如下的Lie对称性确定方程

(15)

定义1 如果无限小群变换(11)的生成元满足Lie对称性确定方程(15)，则称相应的对称性为基于按Riemann-Liouville积分拓展的El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统(8)的Lie对称性。

2.2 广义Hojman定理

Lie对称性不一定导致守恒量。下面的定理给出基于按Riemann-Liouville积分拓展的El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的Lie对称性导致广义Hojman守恒量的条件及其形式。

(16)

则系统的Lie对称性直接导致广义Hojman守恒量，形如

(17)

证明：

(18)

由文献[5]易得：

(19)

(20)

(21)

将式(19)-(21)代入式(18)，并利用式(15)得

(22)

利用式(16)易知：

(23)

(24)

(25)

将式(23)-(25)代入式(22)并利用式(16)，得

(26)

当ξ0=0时，式(17)给出

(27)

式(27)称为Hojman守恒量。

定理1可称为基于按Riemann-Liouville积分拓展的El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的广义Hojman定理。利用该定理，可由系统的Lie对称性直接得到守恒量(17)。

3 分数阶Lagrange系统的Lie对称性与Noether守恒量

下面定理给出基于按Riemann-Liouville积分拓展的El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的Lie对称性导致Noether守恒量的条件及其形式。

(28)

则系统的Lie对称性导致Noether守恒量

(29)

证明：

定理2可称为基于按Riemann-Liouville积分拓展的El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的广义Noether定理。利用该定理，可由系统的Lie对称性间接得到守恒量(29)。

4 算 例

例1 平面Kepler问题的Lagrange函数是

(30)

研究系统的类分数阶Lie对称性及守恒量。

式(9)给出系统的运动微分方程为：

(31)

由Lie对称性确定方程(15)知

(32)

式(32)有解

(33)

由条件式(16)给出

(34)

式(34)有解

(35)

利用定理1，由式(33)、(35)得

(36)

当α=1 时，式(34)有另一个解

(37)

利用定理1，由式(33)、(37)得

(38)

通过Lie对称性寻找相应的守恒量需特别注意的是，因平凡守恒量没有实际意义，故应选取适当的生成元ξ0,ξs,λ使守恒量是非平凡的。

由结构方程(28)得

(39)

由式(33)和式(39)，得

G=0

(40)

利用定理2，由式(33)、(40)得

(41)

例2 设系统的位形由两个广义坐标q1,q2来确定，其Lagrange函数为

(42)

研究该系统的类分数阶Lie对称性及守恒量。

式(9)给出系统的运动微分方程为：

(43)

由确定方程(15)，得

(44)

(45)

由条件式(16)，得

(46)

利用定理1，由式(44)、(46)得

(47)

由式(45)、(46)得

(48)

由结构方程(28)和式(45)，得

(49)

利用定理2，由式(45)、(49)，得

(50)

当α=1时，该守恒量退化为经典守恒量。式(50)为

(51)

5 结 论

本文研究基于El-Nabulsi模型的分数阶Lagrange系统的Lie对称性与守恒量，得到了Lie对称性导致的广义Hojman守恒量和Noether守恒量。本文结果具有一般性，当α=1时，结论退化为经典力学系统的Lie对称性与守恒量，当ξ0=0，广义Hojman守恒量结论退化为Hojman守恒量。文中的方法和结论还可进一步推广应用于研究分数阶Lagrange系统的Mei对称性与守恒量问题等。

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Lie symmetry and conserved quantity of fractional Lagrange system based on El-Nabulsi models

ZHANGXiaocai1,ZHANGYi2

(1. College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009, China;2. College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215011, China)

The Lie symmetry and the conserved quantity of fractional Lagrange system based on El-Nabulsi models are studied. Firstly, the D’Alembert-Lagrange principle of the El-Nabulsi models is deduced based on the fractional action-like variational problem which is expanded by the Riemann-Liouville integral, and the differential equations of motion of the system are obtained. Secondly, the definition and the criterion of the Lie symmetry are given, the determination equations of the Lie symmetry of the system are established, and the generalized Hojman theorem is put forward. At the same time, the existence condition and the form of the generalized Hojman conserved quantity are obtained. Then, the generalized Noether theorem is established, the existence condition and the form of the Noether conserved quantity led by the Lie symmetry are given. Finally, two examples are given to illustrate the application of the results.

fractional Lagrange system; El-Nabulsi model; Lie symmetry; conserved quantity

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.016

2015-05-14

国家自然科学基金资助项目(11272227,11572212)；江苏省普通高校研究生科研创新计划资助项目(KYZZ_0350)；苏州科技大学研究生科研创新计划资助项目(SKCX14_058)

张孝彩(1988年生)，女；研究方向：力学中的数学方法；通讯作者：张毅;E-mail:weidiezh@gmail.com

O316

A

0529-6579(2016)03-0097-06