二阶矩阵环的交换图的自同构*

周津名

(1. 中国矿业大学理学院，江苏 徐州 221116；2. 合肥师范学院数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

二阶矩阵环的交换图的自同构*

周津名1,2

(1. 中国矿业大学理学院，江苏 徐州 221116；2. 合肥师范学院数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

设Γ(M)为有限域上二阶矩阵环的交换图，通过构造Γ(M)的压缩图并研究两图的自同构群之间的关系，完全刻画出Γ(M)的所有自同构。

矩阵环；非交换环；交换图；自同构

近年来，很多学者致力于研究两个同构的交换图所对应的非交换环之间的关系及交换图的参数问题[1-8]。与此同时，我们注意到关于图的自同构问题的研究已取得很多成果，例如强正则图、广义正交图、循环图、零因子图、Cayley 图等图的自同构的刻画[9-13]，但对于交换图的自同构问题的研究却较为滞后。到目前为止，我们仅仅搜索到两篇论文研究有限群的交换图的自同构[14-15]，且目前还没有公开发表的完全刻画非交换环的交换图的自同构群的论文，而研究交换图的自同构群有助于研究代数系统上保交换的非线性映射。基于此，本文致力于研究有限域上二阶矩阵环的交换图Γ(M)的自同构群，并将其完全刻画出来。

1 预备知识

本文讨论的图均为简单图。对图Γ，通常用V(Γ)表示Γ的顶点集。对顶点x∈V(Γ)，用N(x)={y∈V(Γ)|y与x邻接}表示x在Γ中的邻集。设A⊆V(Γ)，若A中的任意两个不同的顶点在Γ中均邻接，则称A为Γ的一个团；若A中的任意两个不同的顶点在图Γ中均不邻接，则称A为Γ的一个独立集。若V(Γ)上一个双射σ保持Γ顶点间的邻接关系(即x与y邻接当且仅当σ(x)与σ(y)邻接)，则称σ为Γ的一个自同构。Γ的所有自同构形成的群称为Γ的自同构群，记为Aut(Γ)。设n为正整数，记Sn为n次对称群。设B为一个集合，|B|表示B的基数，SB表示B上的置换群。

设F是含q个元素的有限域，F*=F{0}，M2(F)为F上的所有二阶矩阵构成的环，Eij为M2(F)中(i,j)元为 1 其余元为 0 的矩阵单位，I为M2(F)的单位阵，则环M2(F)的中心为Z={aI|a∈F}。对A∈M2(F)，记F[A]为域F上的关于A的多项式全体。简记Γ(M)为M2(F)的交换图，即以M2(F)为顶点集，两个不相同的顶点A与B相邻接当且仅当AB=BA。本节主要研究M2(F)中矩阵的中心化子，为研究Γ(M)及其压缩图ΓE(M)的结构及其自同构群做准备。

引理1 设A,B∈M2(F)，则

(i)F[A]={aA+bI|a,b∈F}，

(ii)F[A]=F[B]当且仅当存在a∈F*,b∈F使得A=aB+bI。

证明

(i) 通过直接计算，易证对任意的A∈M2(F)均存在a,b∈F使得A2=aA+bI，进而F[A]={aA+bI|a,b∈F}。

(ii) “⟸” 若A=aB+bI，其中a∈F*,b∈F，则由 (i)可得

故F[A]=F[B]。

“⟹”若F[A]=F[B]，则存在a,b,c,d∈F使得A=aB+bI,B=cA+dI。从而A=acA+(ad-b)I,B=acB+(bc+d)I, 进而

(1)

若A∉Z或者B∉Z，则由(1)式可知ac=1，进而a∈F*，A=aB+bI。若A,B∈Z，则显然有A=B+(A-B+I),B=A+(B-A+I)满足条件。证毕。

引理2 设A∈M2(F)，则C(A)=F[A]，C(A)={aA+bI|a∈F*,b∈F}。

从而

(2)

由 (2)式可知，对任意的2≤i,j≤4均有aibj=biaj，进而

(3)

Z={aA+bI|a,b∈F}=F[A]

证毕。

2 主要结论

本节构造了Γ(M)的压缩图ΓE(M)，通过研究ΓE(M)的自同构群及Aut(Γ(M))与Aut(ΓE(M))之间的关系，刻画了Γ(M)的自同构群。

下面给出Γ(M)的压缩图。在给定的非交换环M2(F)中规定关系～：A～B当且仅当C(A)=C(B)。则Γ(M)的顶点集有如下分类

(4)

故Γ(M)的压缩图ΓE(M)以{[Ai]|i=1,2,…,q2+q+1}为顶点集，两个不相同的顶点[Ai]与[Aj]相邻接当且仅当AiAj=AjAi。

引理3 设A,B∈M2(F)，则AB=BA当且仅当[A]=[B]。

证明 若AB=BA，则由引理2可得,

故存在a0∈F*,b0∈F使得B=a0A+b0I，进而C(B)=C(a0A+b0I)=C(A)，从而[A]=[B]。反之，若[A]=[B]，则C(A)=C(B)，进而F[A]=F[B]，再由引理1可知存在a∈F*,b∈F使得B=aA+bI，故AB=BA。证毕。

接下来讨论ΓE(M)的结构及其自同构群，然后再回到Γ(M)来讨论Γ(M)的自同构群。

引理 4ΓE(M)为顶点数为q2+q+1的独立集，且Aut(ΓE(M))≅Sq2+q+1。

证明 由ΓE(M)的定义可知，

若ΓE(M)有一条边从顶点[Ai]到顶点[Aj]，则AiAj=AjAi。由引理3可知[Ai]=[Aj]，矛盾。故ΓE(M)中没有边，其为独立集。从而V(ΓE(M))的任一置换均为ΓE(M)的自同构，故Aut(ΓE(M))≅Sq2+q+1。证毕。

下述引理讨论了Γ(M)的具体结构, 其结论和文献[1]的定理2一致，但该引理明确给出了Γ(M)的q2+q+1个团。

引理5Γ(M)为q2+q+1个团的不交并，且每个团的大小为q(q-1)。

引理6 对任意的σ∈Aut(Γ(M))，1≤i,j≤q2+q+1，若存在A∈[Ai]使得σ(A)∈[Aj]，则σ([Ai])=[Aj]。

证明 设B∈[Ai]且B≠A，则[B]=[Ai]=[A]。由引理3得AB=BA，从而在Γ(M)中A和B邻接，进而σ(A)和σ(B)邻接，故σ(A)σ(B)=σ(B)σ(A)。由引理3可得[σ(B)]=[σ(A)]=[Aj]，即σ(B)∈[Aj]。从而σ([Ai])⊆[Aj]。由|[Ai]|=q(q-1)=|[Aj]|且σ为双射可知σ([Ai])=[Aj]。证毕。

对任意的[Ai],1≤i≤q2+q+1，令σi为V(Γ(M))上的双射，满足σi([Ai])=[Ai]，且当B∈V(Γ(M))[Ai]时有σi(B)=B，即σi置换了团[Ai]内的顶点，同时稳定[Ai]外的顶点。显然σi为Γ(M)的自同构，令Σi={σi|σi([Ai])=[Ai],σi(B)=B,B∈V(Γ(M))[Ai]}，则Σi为Aut(Γ(M))的子群，且Σi≅S[Ai]≅Sq(q-1)。接下来研究Aut(Γ(M))与Aut(ΓE(M))之间的关系。

证明 显然，有：

以下分三个步骤来证明本定理。

第一步： 证明每一个σ∈Aut(Γ(M))均诱导一个σ′∈Aut(ΓE(M))。

对任意σ∈Aut(Γ(M))，令σ′为V(ΓE(M))上的映射，且σ′([Ai])=σ([Ai])，i=1,2,…,q2+q+1，下面分四步证明σ′∈Aut(ΓE(M))。

(ii)σ′是单射。 若σ′([Ai])=σ′([Aj])，则σ([Ai])=σ([Aj])，由σ为V(Γ(M))的双射可知[Ai]=[Aj]，即σ′是V(ΓE(M))的单射。

(iii)σ′ 是满射。 对任意[Aj]，由于σ为V(Γ(M))上的双射，故存在i=1,2,…,q2+q+1，A∈[Ai]使得σ(A)∈[Aj]。由引理6知σ′([Ai])=σ([Ai])=[Aj]，即σ′为满射。

(iv)σ′为ΓE(M)的自同构。由(i)-(iii) 可知，σ′为V(ΓE(M))={[Ai]|i=1,2,…,q2+q+1}上的双射，由于ΓE(M)为独立集，故V(ΓE(M))上的任意双射均为ΓE(M)的自同构，故σ′∈Aut(ΓE(M))。

欲证φ为满同态，只需证明φ为满射且为同态映射，我们分两步进行证明。

(v)φ为满射。注意到对任意的σ′∈Aut(ΓE(M))，1≤i≤q2+q+1，均有|[Ai]|=q(q-1)=|σ′([Ai])|。可令σ为V(Γ(M))上满足σ([Ai])=σ′([Ai]),1≤i≤q2+q+1的双射，下证σ∈Aut(Γ(M))。一方面，对任意A,B∈V(Γ(M))，若A与B邻接，则A≠B且AB=BA，从而[A]=[B]。不妨设[A]=[B]=[Ai]，其中1≤i≤q2+q+1，则存在1≤j≤q2+q+1使得

故

σ(A)∈σ([A])=[Aj],σ(B)∈σ([B])=[Aj]

而[Aj]={aAj+bI|a∈F*,b∈F}中的任意两个矩阵均可换，故σ(A)和σ(B)可换。又由A≠B且σ为双射可知σ(A)≠σ(B)。故在Γ(M)中σ(A)和σ(B)邻接。另一方面，若σ(A)和σ(B)在Γ(M)中邻接，则σ(A)≠σ(B)且σ(A)和σ(B)可换。由σ(A)≠σ(B)和σ为双射易得A≠B。假设AB≠BA，则由引理3可知[A]≠[B]，从而[A]和[B]在独立集ΓE(M)中不邻接，进而σ′([A])和σ′([B])在ΓE(M)中不邻接。而σ([A])=σ′([A]),σ([B])=σ′([B])，故σ([A])的任一矩阵与σ([B])中的矩阵均不可换，从而σ(A)和σ(B)不可换，矛盾。故假设不成立，即AB=BA。故σ∈Aut(Γ(M))，φ为满射。

(vi)φ为同态映射。对任意的σ1,σ2∈Aut(Γ(M))，结合引理6可知，对任意[Ai]存在[Aj]使σ2([Ai])=[Aj]，则

又(σ1σ2)([Ai])=(σ1σ2)′([Ai])，从而(σ1σ2)′=σ1′σ2′，即φ为同态映射。

第三步：证明满同态φ的核为

一方面，若φ(σ)=σ′为V(ΓE(M))上的恒等自同构，则对任意的1≤i≤q2+q+1均有σ′([Ai])=[Ai]，即

推论1 Aut(Γ(M))≅(Sq(q-1))q2+q+1×Sq2+q+1证明 由定理1可知，

证毕。

由推论1立得如下推论。

推论2

设{j1,j2,…,jq2+q+1}={1,2,…,q2+q+1}，令δ(j1,j2,…,jq2+q+1)为V(Γ(M))上的双射，且δ([Ai])=[Aji],1≤i≤q2+q+1。由引理5易知δ(j1,j2,…,jq2+q+1)为Γ(M)的自同构。令

由推论2立得下述结论。

推论3 Aut(Γ(M))=Δ

证明 显然Δ⊆Aut(Γ(M))，又由

可知，Aut(Γ(M))=Δ。证毕。

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Automorphisms of the commuting graph over 2×2matrixring

ZHOUJinming1,2

(1. School of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China;2. School of Mathematics and Statistics, Hefei Normal University, Hefei 230601, China)

LetΓ(M)bethecommutinggraphof2×2matrixringoverafinitefield.ThecompressedgraphofΓ(M)isconstructedandtherelationshipoftheautomorphismgroupsofthesetwographsisstudied,thenalltheautomorphismsofΓ(M)aredetermined.

matrix rings; noncommutative rings; commuting graphs; automorphisms

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.01.007

2015-07-07

国家自然科学基金青年科学基金资助项目(11401570)；江苏省自然科学基金青年基金资助项目(BK20140177)；2014年江苏省普通高校研究生科研创新计划资助项目 (KYZZ_0371)

周津名(1982年生)，女；研究方向:代数图论;E-mail:zjminguv@163.com

O

A

0529-6579(2016)01-0039-05