高阶广义不确定性原理对量子力学中粒子能量及量子化条件的修正

滕晶(贵州大学理学院,贵州贵阳 550025)



高阶广义不确定性原理对量子力学中粒子能量及量子化条件的修正

滕晶(贵州大学理学院,贵州贵阳 550025)

【摘 要】广义不确定性原理已经广泛的运用在物理学中,本文以广义不确定性原理为基础,针对如下两种情况进行修正:第一种情况是一个质量为m,自旋为1/2的自由粒子的本征值的修正。第二种情况是研究一个盒子中的粒子,根据其特有的边界条件,从而对其波函数进行求解。在本文中,我们将证明,当影响因子趋向于0,结论将自然过渡到传统的狄拉克方程,说明本文的计算结果具有一定的准确性。

【关键词】量子力学 广义不确定性原理 粒子

在近代物理学中，一些著名的理论例如:弦理论、圈量子引力理论、黑洞理论等都会自然导致一个结论——最小长度与最大动量的存在。更多的是，最小长度理论对非对易几何学也有颇深的影响。在当今的数学物理当中，若是深入研究到量子层面，我们似乎很难避免与最小长度最大动量的联系。因此，研究在广义不确定性原理之下的量子力学显得非常的有意义。

而如何将该原理融入到已有经典结论进行研究成为研究者的一个重大难题。在现代的研究中，经典的时空观念已经不再适用于量子引力。更为准确的说，当研究者认为长度小于普朗克长度，传统的连续性的时空分解的概念已经不再适用。尽管最小长度与最大动量的存在，对于一些具体的现象的影响是微乎其微的，但是该原理就像牛顿力学对宏观世界的影响一样无时无刻作用于微观世界中。在量子力学中，原则上可以分别测量某粒子的准确动量和位置，这个结果可以从海森堡不确定性原理中得出。所以如果想要将最小长度和最大动量理论融入到量子力学中，那么就必须从修正海森堡不确定性原理着手，这便是本文重点阐述的广义不确定性原理[1-6]。由于量子引力的普遍性，无论是相对论量子力学或者是非相对论量子力学，最小长度与最大动量都影响着哈密顿量[7-8]，这个额外增加的哈密顿量将对体系产生影响。基于此，作者基于广义不确定性原理，以一个质量为m，自旋为1/2的粒子作为研究对象，探索粒子哈密顿量的变化、波函数的变化以及能量的修正，从而期望对整个物理过程有一个合理的解释。

1 广义不确定性原理

最为经典的广义不确定性原理的表达式是由Ali et al.创立，其表达式如下:

α—广义不确定性关系的参数，无量纲

根据这个经典的表达式，我们可以算出最小长度最大动量的表达式[9-10]:

从这个结论出发，前人对许多量子力学的问题都进行了修正，并且得出了很多建设性的结论。然而，该表达式本身却有着无法克服的困难，主要原因如下:

由于该提议本身出自于微扰，因此，只对小量有较好的模拟性。

尽管最小长度可以被之前理论解释，但是最大动量的提出与DSR理论中的最大动量并不相同。事实上，该表达式只是给出了测量动量的上界，并不是可观测的动量的值。

为了克服以上困难，我们采用如下所示的高阶表达式[11]:

α—广义不确定性关系的参数，无量纲

Mp—是普朗克质量，g；

α0—无量纲的广义不确定原理参数。

根据上面广义不确定性关系的式子，得到式(5):

α—广义不确定性关系的参数，无量纲

在坐标表象中，坐标与动量可以分别表示成如下的式子:

2 高阶广义不确定性原理对一个自由粒子的影响分析

这一部分以一个质量为m，自旋为1/2的粒子作为研究对象。自旋为1/2的粒子必须用狄拉克方程来表示，具体式子如下所示:

该方程的解为:

下面我们将高阶广义不确定性原理的式子融入到狄拉克方程中。

该式在一维空间中的方程可表达为下式:

在这个方程中，当a趋向于0，方程自然过渡到常规的狄拉克方程。因此我们假设以下等式为修正的狄拉克方程的解。将这个式子代回到(14)中，我们可以计算得到

从求解当中，当a趋向于0时，结论自然过渡到传统的解，这与所预期的是相一致的。

3 高阶广义不确定性原理对一个盒子中的粒子影响分析

与非相对论情况不同的是，一个相对论粒子在一个盒子中，无法利用边界条件进行计算，这是由于在边界上会出现一个所谓的克莱因谬论，从而使反射波的强度发生突变，高于入射波的强度，并且导致负能量粒子的数量增加。为了解决这个问题，Alberto，Fiolhais，Gil等人建立了如下的假设。

m、M表明两个独立的常数，三个空间中的波函数分别为式

根据上一部分的结论已知在区域1与区域3有:

对上面几式分析，如果M足够的大，那么k就形同虚无。当M趋向于无穷大时，那么第一个和第三个区域的波函数将会变为0。根据条件，波函数只存在于盒子内，因此在边界上的波函数为0，根据此边界条件获得式(24)、(25):利用之前给出的波函数(19)—(21)与边界条件，作者计算得到:

如此，在z=0处粒子出现的概率就变为了0，这个方法同样适用于z=L处。因此，在盒子外面粒子出现的概率就变为了0。利用等式(16)(17)与(28)，我们得到:

我们发现，式子的第一部分来自于相对论量子力学的影响，式子的后二部分则来自于广义不确定性原理。我们发现，当高阶广义不确定性关系参数趋向于0时，结论自然过渡到非相对论的情况。

4 结语

本文基于高阶广义不确定性原理下，对一个自由粒子与在一个盒子中的粒子进行研究获得了如下结论:

(1)基于此原理，作者对狄拉克方程中的动量进行修正。并且给出修正后的能量。从得到的式子发现，当参数a趋向于0时，结论会过渡到通常的量子力学结论。

(2)第二部分是以一个盒子中的粒子作为计算，由于粒子处于一个封闭的空间，因此在盒子的边界上，波函数必须为0，然后作者将第一部分中的结论运用到这一部分，通过计算，得出量子化条件。通过对求解出来的式子进行分析发现，广义测不准原理对整个体系的影响是比较小的，但是这些微小的影响对现在或以后量子领域的研究具有较为深刻的意义。

参考文献:

[1]P.Pedram, Int.J.Mod.Phys.D 19 (2010) 2003.

[2]K.Nozari, P.Pedram, Europhys.Lett.92 (2010) 50013.

[3]M.Maggiore, Phys.Lett.B 304 (1993) 65.

[4]K.Nozari, B.Fazlpour, Chaos Solitons Fractals 34 (2007) 224.

[5].F.Scardigli, Phys.Lett.B 452 (1999) 39.

[6]F.Brau, J.Phys.A 32 (1999) 7691.

[7]S.Das, E.C.Vagenas, Phys.Rev.Lett.101 (2008) 221301.

[8]S.Das, E.C.Vagenas, Can.J.Phys.87 (2009) 233.

[9]PouriaPedram, Phys.Lett.B 714(2012)317-323.

[10]P.Pedram, Europhys.Lett.89 (2010) 50008.

[11]PouriaPedram,arXiv:1210.5334v[hep-th]19Oct2012.