三轴数控平面磨床几何精度分析与稳健设计*

刘江南，洪义海

(湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南 长沙　410082)



三轴数控平面磨床几何精度分析与稳健设计*

刘江南，洪义海†

(湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南 长沙410082)

摘要：为了经济合理地分配三轴数控平面磨床零部件几何精度，提出了一种几何精度分析设计的方法.针对磨床具体结构，基于多体系统理论和齐次坐标变换方法，建立了磨床几何误差传递模型，并通过试验验证了该模型具有理想的预测性能；根据误差传递模型，运用正交试验设计和参数试验的试验设计方法分析识别了影响磨床加工精度的11项关键几何误差因素；基于稳健设计理论，在成本分析和误差溯源基础上，建立了11项关键几何误差因素下的磨床成本-质量模型，并运用该模型对关键几何误差因素的公差进行了稳健设计.研究结果表明：上述方法能实现对磨床几何精度的经济合理的分配.

关键词：平面磨床；多体系统；几何误差；误差模型；稳健设计

影响机床加工精度的各类误差主要有机床零部件的几何误差、热误差、载荷误差和伺服误差等，其中几何误差所占比重达25%～35%[1]，故对几何精度的分析与研究是精度设计的主要工作.传统精度设计主要是经验设计，依靠经验的方法分配机床各零部件的公差等级.由于各环节误差对机床整体加工精度的影响程度不同，而且其精度控制实现的难易程度也不一样，传统的经验设计方法已经难以满足日益提高的精度要求[2]，因此，为满足机床加工精度的要求，建立机床的误差传递模型，分析影响机床加工精度的关键误差因素，并合理分配机床零部件的精度显得尤为重要.

建立准确有效的几何误差传递模型则是对几何精度进行分析和研究的首要条件.目前，以多体系统理论结合齐次坐标变换为基础的误差建模与分析方法已被普遍采用[3].基于该方法，国内外众多学者在误差建模、误差分析等方面取得了一系列的进展[4-9].在分析及识别影响加工精度的关键几何误差因素方面，黄强等[10]以滚齿机YK3610为对象，介绍基于多体系统理论和齐次坐标变换的机床误差建模方法，并依托该模型对机床敏感误差辨识方法、步骤和关键点进行阐述.程强等[11]基于多体系统理论构建加工中心的精度模型，并利用矩阵微分法建立四轴数控机床误差敏感度分析的数学模型，通过计算与分析误差敏感度系数，最终识别出影响机床加工精度的关键性几何误差.在分配机床零部件的精度方面，王禹林等[12]基于多体系统理论建立螺杆转子磨床的精度模型，并综合考虑磨床整体精度和制造成本，提出一种精度分配优化方法，通过调整精度权数实现了不同应用需求的目标优化.余治民[13]等基于多体系统理论建立龙门导轨磨床精度模型，分析了不同工作位置加工精度可靠性，针对最小可靠度工作位置进行灵敏度分析，并遵循精度均衡原则逐步优化误差变量的分布，实现了磨床精度的优化分配.但上述研究都没有把关键几何误差因素分析与识别和精度分配结合起来应用到机床的精度设计之中.

本文结合关键几何误差因素分析与识别方法和基于稳健设计理论的精度分配方法，对三轴数控平面磨床几何精度进行分析和设计.为有效识别影响磨床加工精度的关键几何误差因素，首先基于多体系统理论，建立三轴数控平面磨床的几何误差传递模型；然后采用正交试验设计和参数试验的试验设计方法分析识别关键几何误差因素；最后，建立关键几何误差因素的公差稳健设计的成本-质量模型，从而对其公差进行稳健设计.

1三轴数控平面磨床结构拓扑分析和几何误差分析

1.1磨床结构及其拓扑分析

三轴数控平面磨床主要包括以下功能部件：前后床身、工作台、立柱、主轴箱、主轴和砂轮，具体结构如图1所示.其中工作台沿床身x向导轨作横向运动，立柱沿床身y向导轨作纵向运动，主轴箱沿立柱z向导轨作垂向运动，主轴及砂轮固定在主轴箱上.拓扑结构描述多体系统各体之间的连接关系，磨床即是一个典型的多体系统，为便于误差建模，对其进行拓扑分析，磨床拓扑结构及低序体阵列分别如图2及表1所示.其中L0(K)等为低序体算子.

图1　三轴数控平面磨床

图2　磨床拓扑结构

K123456L0(K)123456L1(K)010345L2(K)000034L3(K)000003L4(K)000000

1.2三轴数控平面磨床几何误差分析

机床几何误差是指由组成机床各零部件的几何形状、表面质量及相互之间的位置误差等制造和装配因素所导致的机床误差[7].对于三轴数控平面磨床，当三平动进给轴X，Y，Z运动时，将分别产生6项几何误差.以X进给轴为例，当工作台沿x向导轨运动时，将产生3项线性误差：定位误差δxx, 两直线度误差δyx与δzx，以及3项角误差：滚转角误差εxx, 俯仰角误差εyx与偏摆角误差εzx，如图3(a)所示.另外，Y进给轴相对于X进给轴存在垂直度误差Sxy，Z进给轴相对于X和Y进给轴分别存在垂直度误差Sxz和Syz，如图3(b)所示.

综合可知，三轴数控平面磨床共有21项几何误差，表2详细列出了磨床各项几何误差的几何意义及其表达式.为便于区分，对于除三项垂直度误差以外的18项误差，其误差符号下标定义如下：第一个下标表示误差方向，第二个下标表示运动方向.

图3　 相邻典型体间误差元

几何意义表达式几何意义表达式X进给轴平动定位误差δxxy方向直线度误差δyxz方向直线度误差δzx滚转误差δzx俯仰误差εyx偏摆误差εzxZ进给轴平动定位误差δzzx方向直线度误差δxzy方向直线度误差δyz滚转误差εzz俯仰误差εxz偏摆误差εyz几何意义表达式几何意义表达式Y进给轴平动定位误差δyyx方向直线度误差δxyz方向直线度误差δzy滚转误差εyy俯仰误差εxy偏摆误差εzy各平动进给轴间X,Y垂直度误差SxyY,Z垂直度误差SyzX,Z垂直度误差Sxz

2三轴数控平面磨床几何误差传递模型及其试验验证

2.1三轴数控平面磨床坐标系的建立

为便于磨床的误差建模，应建立磨床床身上的基坐标系和各部件上的局部坐标系.具体设置如下：

1)在磨床床身上建立基坐标系O0x0y0z0，其x,y,z轴方向分别与X,Y,Z三进给轴理想运动方向一致.

2)分别在工件链部件和刀具链部件上建立局部坐标系Oixiyizi(i=1～6)，各坐标系方向对应平行.并设坐标系Oixiyizi(i=1～6)与基坐标系O0y0y0z0重合，以便于建模.

2.2三轴数控平面磨床运动分析及描述

将做相对运动的两相邻典型体状态分为运动初始时的相对静止和其后的相对运动两种状况，则两相邻典型体之间的位姿变换可以由相对静止时的理想位姿矩阵、相对静止时的位姿误差矩阵、理想运动位姿矩阵和运动位姿误差矩阵相乘得到[6]，如式(1)所示:

Tij=TijpTijpeTijsTijse.

(1)

根据磨床的结构和各部件之间的运动关系，结合多体系统理论和齐次变换矩阵的方法，可以建立磨床各部件之间的位姿变换矩阵.

2.2.1磨床各部件典型体间相对静止时的位姿矩阵

工件与工作台之间，主轴与主轴箱之间，砂轮与主轴之间固定，且相对静止时位姿误差只考虑垂直度误差，根据前述坐标系的设定，相对静止时的位姿误差矩阵如下所示，其余各部件间矩阵均为单位矩阵:

2.2.2磨床各部件典型体间相对运动时的位姿矩阵

工件与工作台之间，主轴与主轴箱之间，砂轮与主轴之间固定，故相对运动时的位姿变换矩阵均为单位矩阵.

工作台相对于床身运动a时的理想与误差位姿变换矩阵分别为：

同理，可求得立柱相对于床身运动b, 主轴及主轴箱相对于立柱运动c时的理想与误差齐次变换矩阵.

2.3三轴数控平面磨床几何误差传递模型

(2)

式中：Lm(t),Lm-1(t)，均为低序体算子，见表1.

由成形原理可知，在理想情况下，P0t与P0w在磨床工作空间应是重合的，但在实际加工过程中，P0t与P0w不可避免会发生偏离,从而产生空间位置误差.它们之间的偏差即为磨床空间位置误差，则有：

(3)

式中：Ex,Ey,Ez为空间位置误差在x，y，z三向分量.式(3)即为三轴数控平面磨床的误差传递模型，它由磨床各部件的几何误差组成.

2.4几何误差传递模型的试验验证

几何误差检测方法主要有9线法、14线法、22线法等，其中9线法测量线路少，测量时机床不需要多进给轴进行联动，操作相对简单，效率高，因此，本文采用9线法测量辨识磨床21项几何误差.

利用Renishaw公司的XL-80激光干涉仪系统，采用9线法原理，测量磨床21项几何误差.试验时工作台和立柱静止不动，主轴沿立柱上z向导轨运动，在z向工作行程范围内取19个测量点，通过试验测量得到主轴运动到19个测量点位置处砂轮工作点x，y和z三个方向上的位移误差以及分别与之对应的21项几何误差，测量现场如图4所示.

将相应测得的21项几何误差代入式(2)中，即可求得砂轮工作点x,y和z三向误差.将计算结果与试验测量结果进行比较，检验模型的预测精度，结果如图5及表3所示.其中：残余误差=实测误差-预测误差.

1—XL-80激光干涉仪;2—直线度干涉镜;3—直线度反射镜

测量点序号N

测量点序号N

测量点序号N

表3为残余误差与实测误差在最大绝对误差及误差均值方面的数据对比，综合图5及表3数据分析发现：模型预测误差值最低能达到实测误差值的80%，最高达到95%，因此几何误差传递模型具有比较理想的预测性能.

3三轴数控平面磨床关键几何误差识别

根据加工原理可知，在被加工表面的法线方向上，刀具与工件的相对位置误差将最大程度地反映为加工误差.对于三轴数控平面磨床，根据坐标系的设置可知，被加工平面的法线方向为z向，因此磨床空间位置误差z向分量Ez为重点关注对象.由此将对Ez影响较大的几何误差因素看做关键几何误差.本文采用正交试验设计和参数试验的试验设计方法分析识别磨床关键几何误差.

3.1正交试验设计

正交试验设计(Orthogonal Design)是利用正交表科学地安排与分析多因素试验的方法，对试验结果进行方差分析可以解析各试验因素对试验结果影响的重要程度.

对于21项几何误差的正交试验设计，选取三水平的等水平正交表L54(325)，根据误差测量试验数据确定水平值表，见表4.根据误差模型，编写MATLAB程序，进行试验计算，并对结果进行方差分析[14]，如表5所示，其中“*”表示高度显著.

表4　21项几何误差因素水平值表

表5　方差分析表

对于表4中线性误差值，其单位为mm，对于角误差和垂直度误差，其单位为μrad,0.01/1000=10×10-6=10 μrad.对于表5中Fα值，α取0.01及0.05.

从方差分析表可知，对磨床工作空间位置误差z向分量Ez影响大的几何误差因素为：δyx,δyy,δzx,δzy,δzz,εxx,εxy,εyz,εyz,εyy,εyz,Syz,Sxz.

3.2几何误差参数试验

参数试验研究每一个设计因子独立于其他所有因子情况下对响应的敏感性，即一次改变一个参数来分析参数对响应的影响.根据式(3)，对于磨床21项几何误差的参数试验有：

ΔE=F(u1,u2,ui+Δu,…,u21)-

F(u1,u2,…,u21).

(4)

式中：ui(i=1～21)表示21项几何误差.

根据式(4)对21项几何误差进行参数试验，初始值均设为0，线性误差单位微变量取0.001 mm，角误差和垂直度误差单位微变量取10 μrad.试验结果见表6.

对表6几何误差参数试验结果分析：

1)单位各线性误差微变量均等大小地反映在误差的同一方向上，但其值可正可负.凡是引起Ez变化的误差因素，均为敏感误差.

2)单位各角误差及垂直度误差微变量引起的空间位置误差变化存在较大的差异，但其数值的大小基本相同，且相对于单位微变量有较大的误差放大效应.对于引起Ez变化的误差因素，均为敏感误差，在设计中应加以严格的控制.

表6　21项几何误差参数试验

3.3关键几何误差识别

综合几何误差正交试验设计和参数试验的结果发现：两者关键几何误差分析识别结果基本一致，而对于δyx和δyy两项，根据前述误差方向的定义，δyx和δyy两误差方向均为y向，与敏感误差方向[10]即z向垂直，因此不予以重点关注.综上，关键几何误差因素为δzx,δzy,δzz,εxx,εxy,εxz,εyx,εyy,εyz,Syz和Sxz共11项.

4关键几何误差的公差的稳健设计

基于稳健设计理论，利用最优拉丁超立方试验设计获取试验数据，结合Isight软件建立磨床加工精度质量水平的响应面近似模型；考虑产品全寿命周期，在成本分析和误差溯源的基础上，建立磨床加工精度的成本-质量模型，从而实现关键几何误差公差的稳健设计.

4.1响应面法求解磨床加工精度质量水平

磨床的加工精度属于望小特性类型的质量特征,且其质量损失函数是关键几何误差因素的函数,则有：

L(y)=Ky2=G(V).

式中：V=(v1,v2,…,v11)表示11项关键几何误差因素；K为质量损失系数(常数).

若产品质量特性y表现为随机性，即L(y)为随机变量时，产品的质量水平可用质量损失函数L(y)的期望值来表示[15]，如式(5)所示.现代机械精度设计理论表明，机床零部件的几何误差均为随机量.因此，由零部件几何误差导致的机床加工误差也是随机量，则磨床加工精度的质量水平可由式(5)来表示:

(5)

由误差模型可知，加工精度质量损失函数的结构复杂，且高度非线性，难以直接求解其期望值.为此，采用二阶多项式形式的响应面方法构造磨床加工精度质量损失函数的响应面近似模型，从而求解加工精度质量水平.二阶响应面模型一般形式如下所示:

(6)

一般情况下机床几何误差可以看做是服从正态分布，且几何误差均值μ为0，则几何误差的标准差σ与其公差T之间关系如式(7)所示.这里的几何误差的公差T就是允许几何误差变动的范围.

T=6σ.

(7)

将式(7)代入式(6)中即可求得用关键几何误差的公差表示的磨床加工精度质量水平为：

(8)

4.2磨床加工精度的成本-质量模型

产品寿命周期成本一般包括生产成本和使用成本，且一般情况下产品质量越高，生产成本则越高，而使用成本越低.故产品的使用成本可以表示为与产品的质量损失成正比[15]，如式(9)所示，其中λ为比例系数(常数).

(9)

本文选用加工特征模型来表示生产成本与公差之间的函数关系，通过对关键几何误差因素进行误差溯源，分析误差产生的原因，进而选用加工特征模型.

对于11项关键几何误差因素，其与磨床零部件精度的对应关系如下[5]：

1)δzz对应丝杠的螺距累计误差，即丝杠螺母副的制造精度；

2)δzy，δzx，εxz，εxy和εyx对应各导轨在其垂直面内的直线度误差；

3)εyz对应各导轨在其水平面内的直线度误差；

4)εxx,εyy对应导轨的平行度误差；

5)Sxz,Syz与各导轨的直线度及导轨长度有关.

其中，导轨的直线度和平行度与导轨各尺寸有关，而导轨尺寸属于平面特征尺寸；丝杠的螺距则可以看做定位特征尺寸.

根据上述误差溯源的分析，对于δzy,δzx,εxz,εxy,εyx,εyz,εxx,εyy,Sxz和Syz这10个误差可采用我国中型机械类企业在中等批量加工时，平面特征尺寸加工的成本-公差模型；对于定位误差δzz，可选用定位特征尺寸加工的成本-公差模型[16]，分别如下所示.

C(T)=

C(T)=

则磨床整体的生产成本为各项加工成本之和，如式(10)所示：

(10)

结合式(8),(9),(10)可得到低成本高质量的磨床几何误差的公差稳健设计的准则函数为：

QC(T)=WCq(T)+(1-W)[Cm(T)+Cu(T)].

式中：W∈(0,1)为加权因子，一般取W>0.5以确保产品质量.从而可建立磨床几何误差公差稳健设计的成本-质量模型，如式(11)所示.

(11)

4.3磨床关键几何误差的公差的稳健设计

以11项关键几何误差为设计变量，以磨床工作空间位置误差z向分量Ez为分析目标，利用最优拉丁超立方试验设计的方法生成试验数据，并代入式(3)的误差传递模型中，得到相应的试验结果即Ez值.根据试验结果，应用Isight软件中的最小二乘法拟合响应面，从而得到式(8)中磨床加工精度质量水平的二阶响应面模型函数的未知系数，见表7.

表7　加工精度质量水平的响应面模型系数

表8　模型可靠性验证结果

根据现有一般数控设备能达到的精度和中华人民共和国卧轴矩台平面磨床精度检验标准(GB/T4022—2007)，确定式(11)中几何误差的公差值，见表9.这里的公差值是指公差带宽度，也就是允许几何误差变动的范围值.

表9　几何误差公差值

取W=0.7，λ=1，根据成本-质量模型，结合Isight软件对几何误差公差进行稳健设计，得到稳健设计的公差值见表10.

表10　几何误差公差稳健设计值

5结论

1)建立了磨床几何误差传递模型，且经过试验验证，模型具有比较理想的预测性能.

2)运用正交试验设计和参数试验的试验设计方法，识别出了影响磨床加工精度的关键几何误差因素，即：δzx,δzy,δzz,εxx,εxy,εxz,εyx,εyy,εyz,Syz和Sxz共11项.

3)结合最优拉丁超立方试验设计及响应面的方法，在成本分析和误差溯源的基础上，建立了磨床几何误差公差稳健设计的成本-质量模型，并实现了几何误差的公差的稳健设计.

研究表明，本文几何精度分析与设计的过程及结果为高效合理分配磨床精度、实现可行的磨床精度设计提供了理论依据和实践参考.

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Analysis and Robust Design of Geometric Accuracy of a Three-axis CNC Surface Grinding Machine

LIU Jiang-nan, HONG Yi-hai†

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan Univ，Changsha，Hunan410082，China)

Abstract:In order to distribute the geometric errors of parts economically and reasonably, a method for the analysis and design of geometric accuracy was proposed. According to the specific structure of a three-axis CNC surface grinding machine, a geometric error propagation model including 21 parameters was established on the basis of multi-body system theory and homogeneous coordinate transformation method. The model was verified and it had ideal prediction accuracy. Key geometric errors were analyzed by using orthogonal design and parameter test of DOE methods. After cost analysis and error tracing, a cost-quality model for key geometric error variables was established on the basis of robust design theory. At last, the tolerances of key geometric error variables were distributed according to this model. The results have shown that the methods mentioned above are effective in the distribution of the geometric accuracy of grinding machine.

Key words:surface grinding machine; multi-body system; geometric errors; error propagation model; robust design

中图分类号：TH161

文献标识码：A

作者简介：刘江南(1965-)，女，湖南浏阳人，湖南大学教授，博士†通讯联系人，E-mail:hongyihaismile@163.com

基金项目：国家重大科技专项项目(2011ZX04016-041-HD05)

收稿日期：2014-11-05

文章编号：1674-2974(2016)04-0001-08