CIR利率模型下带有随机劳动收入的最优消费投资策略

费为银,王晓弟,夏登峰

(安徽工程大学 数理学院， 安徽 芜湖 241000)

CIR利率模型下带有随机劳动收入的最优消费投资策略

费为银,王晓弟,夏登峰

(安徽工程大学 数理学院， 安徽 芜湖 241000)

摘要：基于完备的金融市场条件假设的前提下，当随机利率服从CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型时，研究了带有随机劳动收入的最优消费投资问题.首先，利用公式以及动态规划原理，建立相应的HJB方程并推导出最优的消费投资策略.其次，在幂效用的特殊情形下，给出了相应值函数的显式解以及相应的最优消费和投资决策的显式解.最后，给定相关参数,利用Matlab软件对得到的结果进行数值模拟，同时分析了劳动收入不确定以及风险厌恶程度对最优消费和投资比率的影响，并给出了相应的经济意义解释.

关键词：最优消费投资； 随机劳动收入； HJB方程； CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型； 幂效用

最优消费投资问题作为金融数学领域基本问题之一，一直受到国内外学者的关注.自文献[1]首次研究短期利率随机变化条件下的资产组合选择问题以来，一些学者就利率为随机变化情形下的投资组合选择问题作了进一步研究. 文献[2]通过使用一般跨期均衡的资产定价模型研究了利率的期限结构，建立了CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型.文献[3]假设随机利率服从CIR模型，研究了以消费定义的幂效用投资者的资产组合选择问题.文献[4]通过假设随机利率为时变的均值回复过程，从长期投资者的期望假设角度研究了动态投资组合选择问题.文献[5]研究了资产收益为二次时，债券利率和股票收益率波动分别服从CIR模型和Heston模型的两资产组合选择问题，获得了最优的投资组合决策.文献[6]研究了带有随机利率和随机波动的最优消费与投资问题，其中，随机利率服从CIR模型，波动服从Heston模型.文献[7]通过随机最优控制方法，讨论了随机利率下有违约风险的最优投资组合问题.文献[8]的研究考虑有限期限上的最优投资消费问题，其中，风险资产服从几何布朗运动，利率服从一个遍历的Markov过程，目标是累积消费和终值财富贴现的幂效用期望最大化.

现实的投资环境一般来说是复杂的，在真实的投资过程中，投资者不仅要面临利率随机变化产生的投资风险，还会受到劳动收入不确定产生的影响.因此，为了使建立的消费投资决策理论模型更加符合现实的经济状况，本文基于现有的研究，在文献[5]模型的基础上，考虑了带有随机劳动收入的情形，在基于利率为随机变化的条件下，研究了随机劳动收入对最优消费投资策略的影响，这不仅在一定程度上拓展了原有的模型，也使得研究结果更具有现实经济意义.

1模型框架

假设整个金融市场是完备的，且在金融市场中仅有两个可供投资的的资产，一个为无风险资产，另一个为风险资产. 其中无风险资产在t时刻的价格过程用B(t)表示，且B(t)满足如下微分方程

dB(t)=r(t)B(t)dt,B(0)=B0>0,

这里的随机利率过程r(t)服从CIR模型，即

r(0)=r0>0,

风险资产在t时刻的价格过程用S(t)表示，且S(t)满足如下微分方程

S(0)=S0>0,

投资者的生命周期一般可分为就业期和退休期，且投资者仅在就业期才拥有一份劳动收入，因此，本文着重分析就业时期投资者的消费与投资行为，退休期的消费与投资行为暂不研究. 进一步假设投资者在退休时刻T之前，还会得到一个随机的劳动收入y(t)，且y(t)服从如下的微分方程

y(0)=y0>0,

dX(t)=[r(t)X(t)+X(t)φ(t)λsr(t)+y(t)-

定义投资者的目标最大化的期望消费效用和终端财富效用，即

其中：U(·)为实际消费的效用函数；V(·)反映期末馈赠带来的效用.假设U(·)和V(·)是严格递增，且二阶可导的连续凹函数，β>0表示主观贴现率.这里用X,r,y分别表示函数X(t),r(t),y(t).

根据最优化原理，相应的HJB方程为

XφσsyσyrρsyHXy+yσyσrrρyrHyr+αU(C)}=βH,

(1)

其中：边界条件为H(T,r,y,X)=(1-α)V(XT)；Ht,HX,Hy,Hr分别为H关于t,X,y,r的一阶偏导数；HXX,Hrr,Hyy,HXr,HXy,Hyr为二阶偏导数.根据一阶条件，有

αUT(C*)=HX,

(2)

(3)

其中：式(3)由3部分组成，第一部分为均值-方差部分，第二部分反映利率变化导致的对冲需求，第三部分是由于劳动收入变化导致的对冲需求.

2幂效用情形下的显式解

推测H有如下形式

(4)

(5)

(6)

根据最优化的一阶条件可得

(7)

(8)

对式(5)求相应的偏导，即

结合式(7)、(8)，并将上式中得到的偏导数代入式(6)，经过整理化简有

(9)

假设方程式(9)的解f为如下形式

f(t,r)=F(t,r)1-δ.

对f求相关偏导，于是有

ft=(1-δ)F-δFt,ft=(1-δ)F-δFr,

将f的相关偏导数代入式(9)，经整理化简有

(10)

根据文献[5]中关于f(t,X)的假设，这里同样假设F有如下的形式

(11)

为确保消除对于r的依赖，可以将上式分解成如下两个常微分方程，即

(12)

对常微分方程组(12)进行求解，有

(13)

经过上述推导可以得出f的显式表达式，即

关于h的求解与f的求解方法类似. 将式(4)代入HJB方程式(1)中，结合式(2)、(3)，利用分离变量的方法，可以得到关于h(t,r)的偏微分方程，即

(14)

其中：边界条件为h(T,r)=0.

为了便于得到相应的结果，类似F假设，假设h有下列形式

(15)

(16)

对式(16)进行求解，则有

(17)

当σy=0时，于是有

(18)

对式(18)进行求解，有

(19)

根据上述模型以及推导过程，可以得到下述命题.

命题1当金融市场为完备的,且ρsr=-1，|ρsy|=1时，则带有随机劳动收入的投资者的最优消费和最优投资权重分别为

命题2当金融市场为完备的,且ρsr=-1，σy=0时，则带有随机劳动收入的投资者的最优消费和最优投资权重分别为

同样地，关于最优投资权重φ*，第一项表示纯投资需求，第二项为对冲利率变化的需求，第三项则反映对冲劳动收入的需求.

3数值模拟与对比

为了更好地说明随机劳动收入对投资者最优消费和投资策略的影响，本文针对命题2进行数值模拟分析.

假设投资者在60岁时开始退休，设定相关参数：k1=0.1,k2=0.35,k3=0.1,σs=0.18,σr=0.4,λs=0.2,δ=-2,β=0.02,α=0.68,r=0.04,X=2,y=2.5,t=35,T=60.这里只分析35～60岁阶段的消费行为，由命题2中的公式可以得到最优消费随时间的变化，如图1所示.

图1　最优消费随时间的变化Fig.1　Optimal consumption over time

由图1可以看出，投资者的消费随着时间的变化在不断变化. 当投资者年龄处于在55岁之前的时候，投资者的消费呈增长的趋势，原因是随着年龄的增大，投资者所拥有的财富在逐渐增多，这也必然导致消费比例的增多；在55岁左右的时候，消费水平达到最高；在55岁之后，投资者的消费呈逐渐下降的趋势，原因是随着年龄的增大，且离退休的时间越来越接近，投资者为了保障退休的生活，于是减少当期消费，将本该用于当期消费的钱储蓄起来以改善退休后的生活状态，这就导致了当期消费逐渐下降. 从图1中还可以看出，投资者的消费与所拥有的劳动收入的多少也有关，投资者拥有的劳动收入越多，则消费水平越高；反之，投资者拥有的劳动收入越少，则消费水平越低.由图1得出的模拟分析结果与现实消费情况相符.

同样假设投资者在60岁时开始退休，风险资产的投资权重随时间的变化如图2所示，模拟时假设α=0，即不考虑消费情况，仅研究投资行为. 图2(a)分析了劳动收入因子k4取值不同时的投资权重随时间的变化，设定相关参数：k1=0.1,k2=0.32,k3=0.1,σs=0.3,σr=0.15,λs=0.25,δ=-2,β=0.02,α=0,r=0.04,X=4,y=2.5,t=35,T=60. 图2(b)分析了风险厌恶因子δ不同时的投资权重随时间的变化，设定相关参数：k1=0.1,k2=0.32,k3=0.1,α=0,k4=0.6,σs=0.3,σr=0.15,λs=0.25,β=0.02,r=0.04,X=4,y=2.5,t=35,T=60.

(a) 劳动收入因子k4取值不同时的投资权重

(b)风险厌恶因子δ取值不同时的投资权重

由图2可以发现，当投资者年龄处于55岁之前的时候，随着年龄的不断增大，投资者所拥有的财富在逐渐增多，他们一般会采取积极的投资策略，投资者敢于且有更多的资金可用于风险资产投资以获得更多的财富，这就导致了投资到风险资产上的比例在逐渐增加.在55岁之后，投资者会逐渐减少对风险资产的需求，原因是随着年龄的增大，且离退休的时间越来越接近，考虑到退休后的生活，投资者不敢且不愿意承担过多的投资风险，同时考虑到年龄大的原因，他们更倾向于投资一些无风险的资产，追求一些无风险的收益，比如银行存款，于是迅速减少在风险资产的投资比例，这也就导致了在55岁之后，投资在风险资产上的比例会迅速减少. 由图2(a)还可以发现，风险资产的投资比例与投资者的劳动收入有关，拥有的劳动收入越多，则可承受的风险就越大，从而投资到风险资产的比例越多；反之，拥有的劳动收入越少，则可承受的风险就越小，从而投资到风险资产的比例越少. 对于幂效用情形，1-δ表示风险厌恶系数，代表着投资者对风险资产的厌恶程度. 由图2(b)还可以看出，δ越小，1-δ越大，投资者对风险资产的厌恶程度就越高，投资在风险资产上的比例就越少；反之，δ越大，1-δ越小，投资者对风险资产的厌恶程度就越低，从而投资在风险资产上的比例就相对越多. 由图2得出的模拟分析结果与现实的投资情况也相符.

4结语

现实中，拥有劳动收入的多少会直接影响到投资者的消费与投资行为.本文基于完备的金融市场条件假设，针对投资者生命周期中的就业期，在现有模型的基础上，考虑了带有随机劳动收入的情形，当利率服从CIR模型时，研究了投资者的消费与投资行为. 特别考虑投资者的效用为幂效用情形时，利用随机微分方程以及随机控制等理论知识，求出了相应值函数的显式解以及投资者的最优消费和投资策略的显式解.利用Matlab软件进行数值模拟分析，说明了劳动收入的不确定以及风险厌恶程度对投资者最优消费和投资决策的影响，同时给出了相应的经济意义解释.本文的研究结果既推广了原有模型，也使得推广后的模型更加符合市场实际，理论意义和应用价值更加明显，可以为投资者提供一定的指导作用.

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OptimalConsumptionandPortfoliowithStochasticLaborIncomeunderCIRInterestRate

FEIWei-yin,WANGXiao-di,XIADeng-feng

(School of Mathematics and Physics， Anhui Polytechnic University， Wuhu 241000， China)

Abstract:Based on the complete financial market, the optimal consumption and portfolio with the stochastic labor income are studied when the stochastic interest rate is supposed to be driven by CIR(Cox-Ingersoll-Ross) model. Firstly, the corresponding HJB equation and the optimal consumption and portfolio strategies are established by using the formula of and the dynamic programming principle. Then, under the power utility, the explicit solution of the value function and the explicit solutions of the optimal consumption and portfolio strategies are derived. Finally, some relative parameters are given and the effect of uncertainty of stochastic labor income and the risk aversion on optimal consumption and portfolio ratio are analyzed by numerical simulation, then the economic significance is explained as well.

Key words:optimal consumption and portfolio; stochastic labor income; HJB equation; CIR(Cox-Ingersoll-Ross) model; power utility

文章编号：1671-0444(2016)02-0306-07

收稿日期：2015-08-31

基金项目：国家自然科学基金资助项目(71171003，71571001)

作者简介：费为银(1963—)，男，安徽芜湖人，教授，博士，研究方向为金融数学与金融工程. E-mail: wyfei@ahpu.edu.cn

中图分类号：O 211.63； F 830.9

文献标志码：A