浅析一致收敛的判断

成丰琰

【摘要】本文通过揭示一致连续与一致收敛概念之间的内在联系，导出了利用连续性判定一致收敛的方法.此方法对于通常的初等函数及函数列一致收敛与非一致收敛的判定非常有效.它不仅用于一致连续与一致收敛区间上的讨论，而且可用于更广意义下的讨论.

【关键词】一致连续；一致收敛；初等函数；函数列.

【中图分类号】O171

1.一致收敛概念的推广

设 f（x，y）在区域G上有定义，点集DG.

定义1 limy→y0f（x，y）= φ（x，y0）在D上一致收敛，当且仅当对ε>0，δ>0，对

（x，y）∈G，（x，y0） ∈D，只要︱y-y0 ︱<δ，则有

︱f（x，y）一φ（x，y0）︱<ε.

特殊地，若D为曲线L：y=y（x），a≤x≤b时，则有

limy→y（x）f（x，y）= φ（x）在[a，b]上一致收敛.

更特殊地，若D为线段L：y=y0，a≤x≤b时，则有

limy→y0f（x，y）= φ（x）在[a，b]上一致收敛.

定义2 lim（x，y）→（x0，y0） f（x，y） =φ（x0，y0）在G上一致收敛，当且仅当对ε> 0，δ>0，对（x，y），（x0，y0） ∈G，只要∣x-x0∣<δ，∣y-y0∣<δ，则有

∣f（x，y） - φ（x0，y0）∣<ε.

2.一致收敛与一致连续的关系

我们将定义2与一致连续的ε-δ定义对照，可得

命题 f（x，y）在区域G上一致连续，当且仅当

lim（x，y）→（x0，y0） f（x，y）=f（x0，y0）

在区域G上一致收敛.

令 μ={（x，y）∣a≤x≤b，c≤y≤d}.

证明 必要性显然成立；

充分性：由（1）得：对ε> 0，δ1 > 0，对（x，y），（x0，y）∈μ，只要∣x-x0∣< δ1，则有

∣f（x，y）-f（x0，y）∣< ε2.

又由（2）得 δ2> 0，对 （x，y），（x，y0）∈μ，只要∣y-y0∣< δ2，则有

∣f（x，y）-f（x，y0）∣<ε2.

于是，取δ=min{δ1，δ2}，则对（x，y），（x0，y0）∈μ，只要∣x-x0∣<δ， ∣y-y0∣<δ，则有

∣f（x，y）-f（x0，y0）∣≤∣f（x，y）-f（x0，y）∣+∣f（x0，y）-f（x0，y0）∣<ε2+ε2=ε （ （x0，y） ∈μ）

lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=f（x0，y0）在μ上一致收敛.

3.闭矩形上连续函数的一致收敛性

定理1 若f（x，y）在有界闭矩形上连续，则对定义域内任意曲线：y=y（x），

a≤x≤b，有

limy→y（x）f（x，y）=fx，y（x）在[a，b]上一致收敛.

证明 f（x，y）在有界闭矩形上连续，故必一致连续.于是由命题1 、2、 3可知结论显然成立.

常用的是定理1结论的特殊情形：

limy→d-f（x，y）=fx，d在[a，b]上一致收敛.

limy→c+f（x，y）=fx，c 在[a，b]上一致收敛.

4.函数列的一致收敛性

借助于二元函数的一致收敛性可以判定函数列的一致收敛性.

实际上可以证明φ（x）在[a，b]上连续，当然在[a，b]上也不一定一致连续.

以下取：μ-={（x，y）∣a≤x≤b，c≤y≤+∞，a，b∈R-}.

定理3 若f（x，y）在μ-上連续，则limn→+∞f（x，n）=f（x，+∞）在[a，b]上一致收敛.

无须多举例子我们已可看出定理3与4已足以解决一般函数列的一致收敛性.从理论上来说由定理2的一般结论容易得到定理4的如下一般情形：

定理4 若f（x，y） 在μ-上连续，存在曲线族ya（x） μ-，n= 1，2…x∈[a，b]，若ya（x）一致收敛于曲线y（x），则limyα→y（x）f（x，y）=fx，y（x）在[a，b]上一致连续且在[a，b]上一致收敛.