表示论在本科抽象代数教学中的应用

杨涌 冯良贵 文军 刘春林

【摘要】本文通过大量实例说明在本科抽象代数的教学过程中如何自然和较为容易的向初学者传授群表示的思想和方法.这些实例是笔者在实际教学过程中系统总结和应用过的，收到了良好的教学效果.这些内容完全可以系统化的在一个学期的授课过程中讲授完毕，使得学生可以在第一时间接受更为系统的现代代数学思想和方法.

【关键词】Sylow定理；群的表示；正规群

本文受到国防科学技术大学校预研基金“代数矢量丛的Euler类群研究”项目资助

本文受到国防科学技术大学理学院教学改革“数学专业高水平专业课程内容建设可行性研究”项目资助

《近世代数》是现代数学的代数学基础，其之于现代数学相当于线性代数之于高等数学.对于大学数学专业本科生而言，这门课程无疑是非常重要的.然而作为现代代数学所包含的最主要的两大思想：“表示的思想”和“同调的思想”，却很少被包括在本科抽象代数教学之中.特别是表示的思想，其将抽象问题具体化的作用可以第一时间降低初学者对抽象概念的畏惧，增强对现代代数学方法的感性认识.然而长久以来，这一内容却很少在数学专业本科代数学核心课程中有所体现.实际上，表示的思想最初已经蕴含在数学专业本科生近世代数课程内容：Sylow定理的证明中了.但是教学内容在此戛然而止，没有上升到表示的方法和应用层面，从而使学生感觉到Sylow定理虽然有着强有力的应用但是沒能体会到该定理成立的本质，更不能继续发展这一定理的深刻内涵，应用也仅能局限在对一些特殊群的计算上.本文将介绍针对大学数学专业本科《近世代数》教学内容中体现表示的思想及基本方法的点滴认识，以及本人在教学中渗透和介绍表示思想方法的一些尝试.

一、Sylow定理和群的表示

Sylow定理和群的表示

Sylow定理是有限群的置换表示的基础，同时也是群表示理论最原始的体现.实际上，在本科近世代数有关Sylow定理的证明中就已经引入了“表示”的思想和方法，只是这种表示是局限于群对特定集合的作用.具体的，我们看一下该定理的证明：

Sylow定理

第一定理：设G为群，|G|=mpn，其中p为素数，p和m互素，则群G一定有pn阶子群H.

第二定理：设G为群，则群G的Sylowp-子群皆共轭，即在内自同构作用下属于同一轨道.

第三定理： 设G为群，|G|=mpn，其中p为素数，p和m互素，设G的Sylowp-子群的个数为r，则有

r|mr≡1（mod p）

Sylow定理的一种较为简单的证明是利用群G作用在一定的集合上，（定理一是作用在集合S={s|sG，|s|=pn}上；定理二和定理三第一部分是作用在全体Sylow子群的集合上；定理三的第二部分是作用在Sylow子群的陪集组成的集合上），然后通过计算这些作用后的轨道及稳定子群指标并结合集合本身的指标信息从而得出关于Sylow子群存在和个数的信息.这一证明中实际上已经体现了群表示的思想：给定一个抽象的群G，由于其抽象的“不可见性”，对于其子群等性质很难把握.所以我们令其作用在一个集合上，通过计算和分析作用后的轨道等信息反过来得到关于抽象群G的信息.简单地说就是通过将抽象群G表示为一个在集合上的作用，使得“不可见”的抽象群G的信息通过“可见的”集合轨道等表现出来.

一方面，一般情况下我们当然趋于使用具有一定群结构的“表示元”来表示抽象的群G.

另一方面，我们自然应当取相对已知群N对未知群G进行“表示”.相对来说，最一般已知的群有两个：置换群Sn和一般线性群GLn.

如此，当我们构造了一个群G在有限集合S上的作用：g∈G，φ（g）s∈S以后.一种方法是我们可以把这种作用当成是S上的元素的置换，从而上面的作用就等价于一个群的同态φ：G→Sn，其中n=|S|.另一种方法是首先以S中元素为基构造一个复的（或实的）线性空间Cn.这时，任意g的作用自然诱导出Cn上的一个可逆线性变换，这显然还是一个一一对应.于是上面的群作用等价于一个群同态φ：G→GLn（C）（或GLn（R））其中GLn（C）（或GLn（R））为C（或R）上一般线性群.

由此我们有了群表示的概念：

群的表示：

给定群G和置换群N（或一般线性群），任意群同态φ：G→N称为一个群G的一个置换表示（或线性表示）.

进一步地，由于置换群本身是有限群所以针对一般的无限群（即便是对按拓扑有限的紧群这一观点显然也是站得住脚的）可想而知其“表现”能力也是“有限”的，所以关于群表示理论更一般的是线性表示理论（当然，这里面还有一个原因是相对一般线性群GLn而言，一般置换群Sn则明显还不够“已知”.要知道，如果把所有有限群都自然的看作一般置换群的子群的话，对于一般置换群的完全的“已知”也就蕴含了对于所有有限群的“已知”，这一点对当今数学来说还是个巨大的未知数.要知道仅仅是有限单群的完全分类还是上世纪末才刚刚完成，况且这种分类本身很大一部分还是基于一般线性群来实现的.而相对地，一般线性群则有更加丰富的“已知”理论可以使用，例如：线性代数！）.

二、置换表示的应用——小Sylow子群的计算

（一）S4的所以Sylow子群

借助于表示的思想和方法，我们就可以分析一些看似抽象的有限群的性质.例如我们可以利用置换表示求出4阶置换群的所有Sylow子群：

基本思路是利用一个4阶置换群S4的3阶置换群S3表示，从而由比较简单的3阶置换群S3的信息来实现计算.具体地

对4阶置换群S4我们有：

H={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}S4是4阶置换群S4的正规子群；

H是S4的所有Sylow 2-子群的交；

首先，根据Sylow定理和置换群的基本性质我们知道S3有一个正规的Sylow 2-子群.给定4阶置换群S4，由Sylow第一定理我们知道其总存在Sylow 2-子群（阶数为2×4=8），取为G.由于G的指数为3，故其左陪集全体构成一个3元集合S={G，a1G，a2G}，当然，这里我们可以取a1为一个3阶元.令S4通过左乘作用在这个3元集上，由此得到一个S4的S3表示，即一个群同态φ：S4→S3.

分析这个表示有：

1.由于φ（a1）是三阶的，得到该同态是非平凡的且像φ（G）至少是3阶群；

另一方面，如果像φ（G）确实是3阶的，则同态φ的核H为S4的一个8阶子群，且H正规.取S4的唯一的正规Sylow3-子群P，则显然HP为一个24阶群，且由H，P都正规得到HP是直和.故HP=S4中至少有一个6阶元，但是我们知道这个是不存在的，即像φ（G）是2×3=6阶群.故我们有：

2.该同态为非平凡满的，核HG是一个S4的4阶正规子群；

设h∈H，则由于φ（h）为恒等置换，故对于任意G的共轭类gGg-1，有φ（h）gG=gG，即存在g′∈G，使得h=gg′g-1.故H包含在G的全体共轭类的交之中；

反过来，若有h′属于G的任意共轭类，则对于任意aiG，由于h′∈aiGa-1i，φ（h′）aiG=aiG，即h′属于核H.综上，我们有：

3.这个同态的核是Sylow 2-子群G的所有共轭类的交（根据Sylow第二定理，这也是S4的所有Sylow 2-子群的交）；

若H中有4阶元h，即H为4阶循环群，取S4得唯一的正规Sylow3-子群P，则显然HP为一个12阶循环群.但是我们知道S4中是没有12阶元的.由此我们有：

4.H中任意非平凡元都是2阶的；

进一步地，若H中包含一个对换，则由对换之间的共轭性有H包含所有的对换，共6个.但这与|H|=4矛盾.由此我們得到

5.S4中如下的4个元{（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24）}必构成一个子群，即为S4的正规子群H.

6.进一步地，我们可以计算出S4的所有Sylow 2-子群；

取S4的所有兑换{（12），（13），（14），（23），（24），（34）}，我们知道相交的兑换不能同时属于同一个Sylow 2-子群中（否则将有3阶元）.故（12），（13），（14）属于不同的Sylow2-子群.另一方面，由上分析有任意Sylow 2-子群都包含正规子群H，由此得到S4的所有Sylow2-子群为：

G1=<（12）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

G2=<（13）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

G3=<（14）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

综上，我们利用一个相对已知的群S3来表示未知的置换群S4，从而得到S4的所有Sylow子群等信息.

（二）S5的所有Sylow子群

进一步地，我们可以做的更复杂一点儿，求出5阶置换群S5的所有Sylow子群.

考虑到求解过程中真正用到置换表示的只有Sylow3子群的求解，所以这里我们只讲一下Sylow 3子群的求解（Sylow 2子群的求解是利用4阶置换群S4在S5中的5个天然的嵌入，每个有3个Sylow 2子群，共计15个Sylow 2子群）

由Sylow定理知道Sylow3子群的个数可能的情况有1、4、10、40个.

1.若只有1个，即Sylow3子群HS5正规，则可以用这个正规子群乘任意Sylow5子群，得到一个15阶的循环群，但是这在S5中显然是不可能的.

2.同时，直接计算有S5中最多有20个不同的3排列，故S5中不可能有40个不同的Sylow3子群

3.若有4个Sylow3子群H1，H2，H3，H4，由Sylow定理知道它们是共轭的.令S5通过共轭作用在集合S={H1，H2，H3，H4}上，得到一个S5的S4表示，即群同态φ：S5→S4.注意到这个同态的核KS5是所有4个Sylow 3子群的正规化子的交，且必有5K.令H1的正规化子为N，则有5||N|，|N||5！，故N中必包含Sylow5子群T，且H1在N中正规.取子群H1T，知其为|H1T|=15阶群，必为循环群.但是这是不可能的.

故S5中有10个Sylow3子群，恰好是C35，即3组合的个数.当然这个观察也帮助我们写出这10个不同的Sylow3子群.

最后，看一个更为直接的例子：

（三）255阶群G一定是循环群

由于有255=5×3×17，则根据Sylow定理，只有一个正规的Sylow17-子群，令其为H17，故当G中元素通过共轭作用到H17上时，实际上定义了一个群G到H17的自同构群的表示.另一方面，我们知道H17的自同构群Aut（H17）共有16个元|Aut（H17）|=16.于是，表示φ：G→Aut（H17）的像的阶数整除16，|φ（H17）||16.但是，我们有256与16互素，故只能有φ是一个平凡表示.即G的任意元素都与H17的元素相交换.于是H17包含在群G的中心中.另一方面，商群GH17因为是15阶群，一定是循环群.所以群G模中心的商群是循环群，得到群G必然是交换群，故而是循环群.

这个例子中我们利用已知的置换群S3，S5的信息，通过构造一定的表示得到关于阶数为255的抽象群（考虑到这个群除了满足群的基本定义以及阶数为255以外我们对其一无所知，可以说的确是足够抽象的了）的具体结构.

实际上，群的表示适用于非常广泛的抽象群的计算和论证，有兴趣的读者可以尝试利用置换表示证明如下关于抽象群的性质.同时上面第二个例子也可以推广到更为广泛的群上而不是仅限于255这个具体的数据.关于这一点可以参考文献[1][2].

三、置换表示的应用——抽象群的计算

以下是Sylow子群定理，我们借助群的置换表示给出一个初等的证明.

设群G的阶数为G=∏ni=1Pi为有限个素数的乘积，且这些素数满足∏ni=1Pi与∏ni=1（Pi-1）互素.则群G为循环群.

证明：

对n做归纳假设

易知，n=1或2时命题成立，假设n≤k-1时命题成立，往证n=k时成立.

取G的换位子群G′，则有三种情况

故矛盾.

四、小 结

通过以上一些例子我们看到，在加入群的表示的思想和方法后，原来零散的、构造性的证明被系统的理论方法取代.同时，这样也有利于学生第一时间感受和学习现代代数学的思想和方法.

【参考文献】

[1]抽象代数；李超，谢端强，冯良贵；国防科技大学出版社；2008.9.

[2]代数学I；B.L.范德瓦尔登；科学出版社；2006.8.