例谈变量分离解决恒成立问题

李勇

【摘要】在含参变量的某些与函数、数列、方程和不等式有关的恒成立的问题中，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.

【关键词】恒成立问题；变量分离；等价转化

含参变量恒成立的问题，是近几年高考热点，它往往以函数、数列、方程、不等式等為载体具有一定的综合性，如能将变量分离出来，问题则化难为易，化繁为简，从而迎刃而解.

一、函数问题

五、主次变量问题

例5 对于|p|≤2的所有实数P，求使不等式x2+px-1>2x+p恒成立的x的取值范围.

解 将变量分离，有x2-2x-1>p（1-x）.当1-x>0时，p2，即x2-2x-1>2-2x. 又x<1，∴x<-3同理当1-x<0时，有x2-2x-11-x2+3.

综上，所求x的取值范围是x<-3或x>2+3.

小结 1.恒成立问题，往往通过变量分离后可达到如下形式：

a≥f（x）恒成立a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立a≤f（x）min.

2.解决这问题的步骤是：

（1）从F（x，p）>0出发，将x与p分离，写成g（p）<φ（x）或g（p）>φ（x）的形式；

（2）在x∈[a，b]上求φ（x）的最大值M或最小值m；

（3）解不等式g（p）M，所得解集就是参变量p的取值范围.