对一道圆锥曲线题学生错解的思考

廖开灿 汤强 张波

【摘要】圆锥曲线是高中生必学和高考必考的内容.通过对圆锥曲线内容的学习，高中生能够扩展自己的知识领域，并加深对高中数学知识体系的理解.对一道看似简单但学生易错的圆锥曲线题的辨析，有利于教师把握学生学习圆锥曲线的难点、障碍点，进而推进教学的针对性.

【关键词】圆锥曲线；错解

1.一道圆锥曲线问题的学生错解

实数a为何值时，圆x2+y2-2ax+a2-1=0与抛物线y2=12x有两个公共点？

解 x2+y2-2ax+a2-1=0y2=12xx2+12-2ax+a2-1=0，12-2a2-4a2-1=0，得a=178.

2 学生错解分析

此题中学生的错误有以下几处：

（1）联立后得到的方程x2+1[]2-2ax+a2-1=0漏掉了x的范围x≥0；（2）判别式运用不当；（3）书写不规范.

显然，（1）的错误是由于学生没有发现“y2=12x”所蕴含的“x≥0”这个条件，学生的逻辑思维欠缺导致的，这个错误可能会导致a可以取得更多的值.（2）的错误在于该生没弄清联立后的这个含参的一元二次方程应该有几个解，有几个什么样的解.该生只知道解这类题的大致思路和步骤，他对解这类题的具体方法掌握不够，并且他对为什么要联立，为什么要用判别式等本质问题的理解不到位.这种错误对于此题较为典型，本质上反映了一些学生的学习立足于记题型、照着做，忽略了对圆锥曲线本质问题的分析，尤其是解圆锥曲线题常用的数形结合等思想方法的学习.可能有人会认为（3）的错误并不严重，然而书写凌乱直接反映的是学生思路的凌乱，反之，规范的书写却有利于学生思维的展开，因而笔者认为（3）的错误应该值得我们关注，日常教学中对它的纠正应该成为学困生转化的一种有效途径.

3.正确解法

解 联立x2+y2-2ax+a2-1=0，y2=12x.

得x2+12-2ax+a2-1=0x≥0①

由题意知：①式有且仅有一个正数解.

即：方程x2+1[]2-2ax+a2-1=0②有两个相等的正数解或者有一个负数解和一个正数解.

1.当②式有两个相等的正数解，

12-2a2-4a2-1=0，2a-12>0，a2-1>0.解得a=178.

2.当②式有一个负数解和一个正数解，

12-2a2-4a2-1>0，a2-1<0.解得-1

综上所述，a∈（-1，1）∪17[]8.

4.解题教学分析

比较正确解法与学生的错解，我们从中可以发掘出此题有效的解题教学过程.

首先，要让学生对本题有一个整体把握.比如，本题给出了圆和抛物线的方程，并已知两曲线有两个公共点，求圆中一个参数的范围.

其次，找准此题解决的关键点予以强调.比如，题目中给出了两曲线方程，并且已知两曲线有两个公共点，所以解题时可先由曲线方程画出已知抛物线的图像，再根据圆的圆心为（a，0），半径固定为1，试着画圆的图像，抓住“有两个公共点”这个条件去尝试定性的分析参数a的情况.这样分析，很容易看出a∈（-1，1）符合题意，并且a还有一个大于1的解.现在要求a的這个大于1的解，很容易想到要联立两个方程，把图像交点的问题转化为方程组解的问题，也就是把图像有两个公共点转化成了方程组有两个解，从而定量的去求参数a.并且结合图像我们知道，方程组的两个解的横坐标相等，纵坐标互为相反数.接下来把方程组的解转化为方程①的解，一定要注意未知量x的范围是x≥0，并且方程①的解x只有1个而且是不等于0的，即现在的条件已经变成了方程①有且仅有1个正数解.

再有，明确此题的障碍点（易错点）给予突破，比如，接下来我们一定会想到运用与“一元二次方程的根的个数和它的判别式之间的关系”相关的知识解题，但是学生往往会忽略这里的判别式的运用是要在方程的解没有限制范围时才准确的，这点用一元二次方程的求根公式x=-b±b2-4ac[]2a可以很容易说明.而这里的方程①中多出了x≥0的条件，所以接下来的一步转化至关重要，我们需要把条件方程①有且仅有1个正数解转化为方程②有两个相等的正数解或者有一个负数解和一个正数解，然后分两种情况讨论，用判别式相关的知识去列式组求解参数a，最后把两种情况得到的解集并起来.

最后，关注此题解题过程的规范书写.使学生能够以规范的书写反映思维的过程、强化思维的严谨.

这道题目看似简单，但实际上要做好这道题，要求学生必须熟练掌握高中阶段最重要的四种数学思想：数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与划归的思想、分类讨论的思想.并且，这道题目在考查学生数学基础知识、基本技能和基本思想的同时，也考查了学生对数学知识本质的理解，体现了《课程标准》中对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求.而对学生错解的辨析，有利于教师把握学生学习圆锥曲线的难点、障碍点，进而推进教学的针对性.