浅谈在高三数学总复习中“总结”的有效性

郑晓容

一、重要知识点的网络作用的总结

本章节可把重点成三块：

1.函数性质周期性奇偶性单调性最值（整体性质体现）

2.函数图像作用识图用图

3.基本初等函数二次函数指数函数对数函数幂函数

通过分割而统一的三大块重点知识的整理，学生会觉得条理、简单，把握整章节知识点，再引导学生根据这三大块逐个知识去联想相关性质，对照常见题型，重要解题方法，渗透思想方法.如单调性判断题型，有定义判定、导数判定、图像判定等，也有单调性和求最值相结合应用题等.通过分块网络总结，可以在更高层次理解和把握，可以和其他学科进行知识的交汇.如方程、不等式、数列、曲线等，也可以联想重要思想方法.如方程思想、数形结合思想、类分整合思想等价化归思想等，由此形成内在统一知识体系，具有条理性、系统性，从而夯实基础，提高效率.

二、一类问题解决方法的总结（例子略）

求函数最值问题、最值是函数的整体性质，综合性强，求法灵活.它贯穿于整个高中数学的始终，求法一定要总结：

（1）配方法——适用题目的结构是二次函数，在给定区间上求最值有两类：一是求闭区间[m，n]上的最值，二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题，勿忘数形结合.注意“两看”（开口方向、对称轴和区间相对位置关系）.

（2）换元法——其题目结构特征是含有根式、对数等超越式，通过换元，把超越式转换成有理式，把复杂问题转化为简单问题.

（3）函数的有界性——其结构特征是含有sinx或cosx.

（4）单调性法——含有基本初等函数，可以利用基本初等函数的单调性.还有形如f（x）=x+k[]x（k>0）的双刀型曲线的单调性.

（5）数形结合——其结构特征是能充分利用所表示的几何意义.如表示成为两点的距离、

直线斜率等等.

（6）判别式法——其结构特征为分式函数中分子或分母至少有一个是二次的.

三、一个典型数学问题的解法总结

如“含参数的不等式恒成立问题”的解法总结：

例 设f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8，当x∈[0.+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求参数a的取值范围.

解析 构造新函数F（x）=f（x）-g（x），要满足f（x）≥g（x）恒成立，就要使F（x）≥0，当x∈[0.+∞]时恒成立；从而转化为当x∈[0.+∞]时F（x）min≥0，转化为关于a的不等式从而求得a的范围，解答（略）.

图 1 图 2 图 3

总结：①题意理解准确，f（x）≥g（x）的x∈[0.∞）上成立此時f（x）和g（x）取相同x值，而不是理解为，当x∈[0.+∞]时，F（x）min≥g（x）max.如图（1）：显然满足了前者而不满足后者.②这个问题的表现形式还有㈠已知f（x）≥m（m为常数）在给定的区间I上恒成立，则x∈Ι时f（x）min≥m，如图（2）：㈡已知f（x）≥m（m为常数）在给定的区间I上有解（解非空），则x∈Ι时f（x）max≥m，如图（3）：（三）见“例子”形式.（四）已知F（x）min≥g（x）max在给定的区间I上有解（解非空），等价于“F（x）-g（x）≥0”转化为形式㈡.③针对以上四种形式分析归纳形成解决这类问题的通法：法1.直接求f（x）的最值[如㈠、㈡]或构造F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的最值[如（三）、（四）].法2：分离参数法，如例子f（x）≥g（x）在x∈[0.∞）上恒成立即x3+2x2+x-4≥ax2+x-8恒成立，分离成a≤x+4x2+2在[0.∞）上恒成立，而令y=x+4x2+2在[0.∞）上，求最小值用均值不等式或导数求解.法3，若是二次不等式恒成立或有解问题，可用二次图像数形结合求解.由此通过总结题型和方法，高度反思，使得复习具有针对性，提高效率.

四、常见题型的总结

在本章的学习中，二次函数在闭区间上求最值是一种常见题型之一.

例 已知二次函数f（x）=ax2+2（a-1）x+1（a≠0）在-3[]2，2上的最大值为3，求a的值.

对于本题一大特点是已知闭区间上最值，求函数或区间中的参数，而不是不含参数，直接在闭区间上求最值的问题，它是一个逆向最值问题.若从直接求最值入手，需分a>0和a<0两大类的五种情形讨论.过程繁琐.显然必须从最值的分布情况入手，二次函数取得最值一定在闭区间上的两个端点或抛物线的顶点处取得.因此先求出这三个值，再检验其真假，思路明了，过程简洁.这是解决逆向型闭区间最值问题的一种有效方法（解略）.通过对常见题型的解法总结，使学生胸有成竹，碰到类型题，增强信心，入手快，思维活跃，有利于在考试中更好发挥水平.本节中的单调性、奇偶性等知识点都有常见题型值得很好总结.

总之，“总结”是思维过程的结果，是经验的结晶，是智慧的升华，是理性的.教学实践证明，引导学生学会总结、善于总结学过的知识点、方法和题型以及渗透着思想方法.是可以较大提高复习效率的，是可以作为总复习的有效方式之一.在第三轮综合模拟训练阶段，能学会总结，善于总结，学习效果会更明显，更应该让学生去自我总结题型、知识方法、应试的心态的调节等等.