在中学数学中如何利用反例

杜先云 任秋道

【摘要】举反例是证明一个命题为假命题的重要方法.本文给出反例的逻辑基础及应用范围：辨别概念和谬误，举反例的常见方法——构造法.

【关键词】假命题；反例；构造法

本文受四川省教育厅自然科学基金（12114931）的资助.

1.引 入

在学习数学过程中，学生利用直觉思维得到大量的信息.然而直觉思维本身不具有严谨性，依靠直觉得出的猜想中夹杂着很多错误.要避免错误，我们就需要引导学生发现反例，举反例是找出谬误不可缺少的工作.另一方面，如果学生仅仅单纯地从正面去认知、理解、记忆所学的数学知识，很容易使他们的数学思维长期处在惰性状态，不利于开动脑筋，也不利于培养创新思维.学生在一阶段的数学学习中，由于受到过去感知的影响，对于当前事物总是会产生思维定式，我们就要抓住恰当时机利用反例，有效地消除学生的思维定式，正确记住概念、公式、定理和法则，从而获得新知识.G.波利亚曾说：反例与类比是获取发明的伟大泉源.因此，在数学教学工作中，反例占有不容忽视地位.本文从反例的逻辑知识、应用及构造反例来阐述反例在教学中的作用.

2.反例的逻辑知识

首先我们来了解命题逻辑的一些知识.命题是非真即假的判断句，有四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断以及特称否定判断.我们用A表示一个命题，（k-3）x2-2（k+3）x-k+5=0用表示它的否定命题.反例要用到两个重要的逻辑规律“矛盾律”和“排中律”：矛盾律用命题公式a为假来表示，即命题a2>0及否定命题a=0同时为真不能成立，二者至少一个为假.排中律用公式a2=0为真来表示，即命题（k+1）x2+（2k-1）x+k-1=0或否定命题（k-3）x2-2（k+3）x-k+5=0为真，二者至少一个为真.矛盾律和排中律说明了在同一思维过程中，命题及其否定命题这对矛盾必有一个是真的，另一个就是假的.我们要说明A为假命题，就必须说明？A为真命题.

推理是由一个判断推出另一个判断的思维过程，可由两个命题前提M和结论N构成的复合命题来表示.一般表示為：如果M，那么N.记作M→N.一般而言，各门数学中所说的命题是由条件和结论两部分组成.我们知道：证明一个命题是真命题有诸多方法：直接法、间接法、穷举法、归谬法和数学归纳法等.如何证明一个命题是假命题？即证明“某一个命题不成立”为真命题？举反例就是证明假命题最主要的方法.数学中的反例是指满足某一个命题的条件，而不满足该命题结论的例子，也就是指出某命题不成立的一种情况.一个假命题可能对应多个反例，只需寻找到其中一个反例，就可以说明原命题为假命题.一般而言，对于一类事物具有某种性质的全称肯定判断（即集合S中所有的元素都具有性质P）A而言，举反例就是在集合S中寻找一个不具有性质p的元素.下列命题相互构成反例关系：对一类事物具有某种性质的全称肯定判断同该类事物中的一些个体具有这种性质的特称否定判断，对一类事物具有某种性质的全称否定判断同该类事物中的一些个体具有这种性质的特称肯定判断.

推理中前提与结论的基本关系有两种：充分条件和必要条件.前提M是结论N的充分条件，记为M→N，表示充分条件的假言判断是指断定某事物具有的性质是另一事物具有的性质的充分条件的假言判断，也就是说“有前者，一定有后者”，但是“无前者，却可能存在后者”.如果能够举出反例“无前者，却存在有后者”来说明.这样的反例就是充分条件假言判断的反例.结论N是前提M的必要条件，必要条件的假言判断是指断定某事物具有的性质为另一事物具有的性质必要条件的假言判断，可记为N←M，也就是说“无前者，就不存在后者”，但是“存在前者，不一定存在后者”.如果能够举出反例“存在前者，无后者”来说明.这样的反例就是必要条件假言判断的反例.

3.反例法在中学数学中的应用

数学的概念、性质及定理等基础知识是学生必须领会掌握的.教师在教学过程中，不但需要通过正面的例子对数学知识的本质属性进行说明，而且需要通过反例来对重要概念及其本质特征进行更深层次地阐述.

（1）举反例准确理解概念

在数学概念的学习中，恰当的反例，能够对概念的内涵与外延进行说明，便于学生理解概念.有许多概念是相似且易混淆的，只有知道它们之间的联系与区别，学生才能够透彻地理解和正确地运.我们一定要注重概念的分解，引导学生比较分析易混的概念，找寻它们间存在的不同之处.例如，学习“二次根式”时，学生容易把算术平方根记成a2=a.举出反例：（-1）2=1.事实上，在算术平方根的定义中把平方根的前面“+”省略掉了.

（2）应用反例法找出谬论

学生对于知识的学习是一个不断沉淀的过程，也是一个不断发现错误与纠正错误的过程.若M为真命题，而M→N为假命题，则这种推理为谬误.产生谬误有多种原因：把概念、定理理解错误而产生的谬误；由于思维定式产生的负迁移，把公式、定理和性质记混淆而出现的谬误；在正确的原命题的逆命题中存在着许多错误的命题.反例在辨析错误命题的过程中存在着直观性、明显性与说服力强等特征.利用反例法进行教学，不尽能够发现学习过程中存在的错误与漏洞，还能够完善相关的知识概念，进而更好地得到准确的结论.学会运用反例去思考和解决数学问题，这也是学生应该掌握的重要学习方法.

寻找反例离不开诸多深层次的思维活动，它的方法有如下几种：观察、实验、归纳、分析、综合、概念与抽象等等.寻找反例一般采用构造法.构造法是转化条件或结论的证明方法.利用转换型逆向思维法：转换思考角度观察分析问题，从新的角度，用新的观点观察、分析及解释对象，抓住它们的内在联系，从而找到解决问题的方法.常见有下列三种方法：

1.仔细分析题目，对照相关概念、定理和法则，寻找被遗漏掉的条件来构造反例.

2.寻找命题中的隐含条件或者特殊情况，来构造反例.

例 已知方程kx2+（2k-1）x+（k-2）=0不存在实根，则方程（k+2）x2-2（k+3）x-（k+5）=0必会有不相等的实根.

解 根据方程kx2+（2k-1）x+（k-2）=0没有实根，则有Δ<0，k≠0，可得：k<-14.当取k=-2时，方程（k+2）x2-2（k+3）x-（k+5）=0变为-2x-3=0.而这个方程只有一个实根而不存在两个不等的实根.故结论不成立.

3.通过对问题的分类讨论，来构造反例.

在中学数学中，我们经常运用反例.反例能够帮助学生透彻理解概念，区分命题的真假，发现学习中存在的错误与漏洞，有效地提高学生认知能力和理解数学知识的水平.寻找反例常常利用了转换型逆向思维法，克服了思维的惰性状态，有利于激发学生学习数学的兴趣、有效地培养学生创造性思维和创新能力.