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有关利用轴对称求最小值的动点问题

2016-05-30邓晓飞

新课程·中学 2016年1期
关键词:对称点牧童所求

邓晓飞

例1.如下图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,已知AC=200米,BD=600米,且CD=600米.

(1)牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家,试问在何点处饮水,所走路程最短?

(2)最短路程是多少?

【考点】轴对称—最短路线问题.

【分析】(1)要求牧童行驶距离最短的饮水点P,除非AP、BP的和为两定点之间的距离,也即是P在两定点F、B的连线上.

(2)作BE⊥BD交CA的延长线于点E,求得AE=BD+AC=600+200=800 m,BE=CD=600 m,然后根据勾股定理求出FB的長.

【解答】解:(1)作点A关于L的对称点F,连接BF交CD于点P,则点P为所求,此时PA+PB=BF,BF就是最短路程.

(2)作BE⊥BD交CA的延长线于点E,如图所示,

由题意得AE=BD+AC=600+200=800m,BE=CD=600m

由勾股定理得:BF=1000m

所以最短路程为1000米.

【点评】本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间,线段最短”,可以利用对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两定点之间的距离.

例2.如下图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点,则BM+MN的最小值为( )

A.10 B.8 C.5 D.6

【考点】轴对称—最短路线问题.

【分析】过B点作AC的对称点E点,过E作EN垂直AB交AB于N点,EN就是所求的线段.从下图中可以看出EH、EG的长都比EN长。

【解答】解:过B点作AC的对称点E点,过E作EN垂直AB交AB于N点,AC=5

AC边上的高为2,所以BE=4.

∵△ABC∽△BEF,

EF=8.

故选B.【点评】本题考查最短路径问题,关键确定何时路径最短,然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解.

编辑 孙玲娟

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