浅谈数学归纳法及其应用

谢雨嫣

【摘要】数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法，其应用十分广泛。从初中接触数学归纳法开始，它就和我们结下了不解之缘。了解数学归纳法的发现和发展的历史，是掌握数学归纳法的基础。理解数学思想方法和原理，是掌握数学归纳法的重要途径。运用数学归纳法思想于生活中解决实际问题，是学习数学归纳法的目的

【关键词】数学归纳法;递归

数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的方法。从它被纳入初中数学教学大纲就可以看出它的重要性。在实践中，用于证明问题的方法越来越多，但首选还是数学归纳法，因为它是最直观、最简便的。

一、数学归纳法的内涵

数学归纳法是一个很重要的证明方法，从数学归纳法被发现、发展到实用，关于它的相关知识逐渐丰富到逐步完善。了解数学归纳法的发现和发展的历史，是掌握数学归纳法的基础。理解数学思想方法和原理，是掌握数学归纳法的重要途径。数学归纳法的灵魂是递归思想，掌握它不但能培养我们以数学思想思考问题的习惯，还能提高我们总结经验、归纳规律的能力。

（一）数学归纳法的本源

先从少数的事例中摸索出规律，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。以小孩子识数为例。他们刚开始都是从一学起，一直学下去，直到某一时刻，他们领悟了，所有的数字都会数了。这是一个认识的飞跃，竟从有限跃到了无穷！这就是一个规律的总结。解释这个飞跃现象的原理，就是数学归纳法。数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无穷。

我们认识事物的时候，会自然的总结事物的规律，用一种设想将事物给描述出来。当我们对事物有了新的认识的时候，我们要推翻前面的设想，再总结出一个新的设想。首先我们可以把对该事物最基本的认识做为第一个命题，这是能够保证其正确性的;如果我们可以证明在此基础上的第k个认识是正确的时候，第k+1个认识也是正确的，那么，这一系列认识就全部正确。前面的例子也很直观的说明了这个问题。

（二）数学归纳法的发展历史

正整数可以说是人们最先认识的数学概念之一。关于正整数，人们最初只是对有限个正整数的问题进行处理。而正整数是一个无限集。人们研究正整数就不可避免的要涉及到无限集的问题。但人们不可能对正整数做无限次的操作，所以人们只有通过某种方法来实现以有限次的操作去获取无限集的某些性质，来研究涉及无限集的问题。

1893年，意大利數学家皮亚诺建立起正整数的公理体系，他把数学归纳法作为一条公理纳入他的正整数公理系统之中。其形式一般为：

“如果一个由正整数组成的集合S包含有1，又如果S包含有某一数a，就必然也包含有a的后继（即a+1），则S就包含所有的正整数。”

此后，数学归纳法成为证明关于正整数的命题的首选方法，并且又发展出若干变型，如第一数学归纳法，倒推数学归纳法等。

（三）数学归纳法的本质

对于数学归纳法本质的认识，是学习数学归纳法并能正确应用数学归纳法的关键。

数学归纳法被明确提出并广泛应用的很长一段时间里，它的逻辑基础仍是不明确的。直到1889年，意大利数学家皮亚诺发表了《算术原理新方法》，建立起关于正整数的5条公理，才使严格意义下的数学归纳法得以进一步明确。

正整数五条公理：

（1）1是正整数;

（2）1不是任何正整数的后继者;

（3）每一个正整数a都是一个后继者;

（4）若a与b的后继者相等，则a与b也相等;

（5）若有一个由正整数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a时，它一定也含有a的后继者，则S就含有全部正整数。

正整数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定。数学归纳法原理可表述为：设p（n）是与自然数n有关的一个命题，如果p（1）成立，若p（k）成立，则p（k+1）成立，那么p（n）对一切正整数n都成立。

数学归纳法有着许多变种，但它的本质还是“1对;假设k对，k+1也对”，理解它并掌握，那么我们也可以变着法子来运用。

在数学归纳法的证法里，它的两个命题都是不可缺少的。即便它是对在n等于1乃至n等于1万都成立，它对于任何自然数是否都成立呢？这却是并不一定的。这样，对于后面那个命题，一般不会被我们遗忘。但是，值得注意的是，我们不能以为“当n=1时，这个命题是正确的”这句话简单而忽略它。在证题时，如果只证了“假设当n=k时，这个命题是正确的，那么当n=k+1时，这个命题也是正确的”，那么这个证明是不完整的、不正确的，它甚至会得出非常荒谬的结论。

如：所有的正整数都相等。

这个命题显然是荒谬的。但是如果我们忽略掉“1对”，那么可以用那个不完整的“数学归纳法”来“证明”它。

首先，我们假设“第k-1个正整数等于第k个正整数”是正确的，即k-1=k;

这时两边都加1，则得k=k+1，即

“第k个正整数等于第k+1个正整数”也是正确的。

这样，我们就得到了所有的正整数都相等这个结论。所以说，数学归纳法的2个组成部分是缺一不可的。

数学归纳法与一般归纳法的根本区别在于，数学归纳法具有明确的论证意识，通过应用归纳法步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性。庞加莱很明确的指出了普通归纳法和数学归纳法的本质区别，他说：“我们必须承认，这和通常的归纳程序有及其相似之处。但是，其中有一个根本的不同。归纳法，当其应用于自然科学时，常是不确定的，因为它的基础是相信宇宙中有一种普遍顺序，一种在我们之外的顺序。相反，数学归纳法，即递归证法，把自然视为一种必然，因为它不过是心灵本身的一种性质……”。

（四）递归函数

递归思想是数学归纳法的灵魂。一般来说，递归函数是一个在正整数集上定义了的函数。首先，有定义;其次，如果知道了，……，，那么也就完全知道了。

如：由

定义了一个递归函数。通过计算，可以知道=1， =2， =4，=7，……，从而可以得出这个递归函数就是

這个等式就变成一个需要“证明”的问题。而由数学归纳法可以很轻松的解决这个问题。

二、数学归纳法的数学应用

（一）代数恒等式方面的应用

例 1：等差数列的第n项，可以用公式

表示。这里，a1是它的首项，d是公差。

证明：当n=1时，，（1）式是成立的。

假设当n=k时，（1）式成立，那么有

=

=

所以当n=k+1的时候，（1）式也是成立的。

综上所述，对于所以的n，（1）式都是成立的。

例 2：等差数列前n项的和，可以用公式

表示。这里，是它的首项，是公差。

证明   当=1的时候， =，（2）式是成立的。

假设当=k的时候，（2）式是成立的，那么

=

=

=+

所以当n=k+1的时候，（2）式也是成立的。

综上所述，对于所以n，（2）式都是成立的。

这一个公式我们经常应用它解决一些数学题目，以前单纯的相信它，而不去思考它的正确性。但是现在我们在使用一个公式前都应该先运用自己已有的知识去尝试证明它，去思考它是怎么归纳出来的。这个时候，数学归纳法将是我们最好的帮手。

（二）不等式方面的应用

例3：求证n个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

n个非负数，，……，的几何平均数是;

算术平均数是

所以本题就是要求证明：

证明  当n=1时，（3）式显然成立。

假设0<≦≦……≦

如果，那么所有的（j=1，2，……，n）都相等，（3）式显然成立。

进一步假设<，并且假设

成立。显然（4）式的右边<

因为   =

=  +

把等式两边都乘方n（n 1）次，并且由

>  + （a>0，b>0）

可知

>

+n（）

=

≧

=……

所以

≦

也成立。于是定理得证。

上题可以说是不等式证明方面的一个比较轻松的例题。因为对于不等式方面的证明并不像恒等式那么直观，所以仅仅是会生搬数学归纳法的证明公式已经无法满足解题需要，我们必须理解数学归纳法的思想才能灵活应用。

运用数学归纳法思想于生活中解决实际问题，是我们学习数学归纳法的目的。数学归纳法不仅仅只是一个证明数学问题的证明方法，它包含了一个很好的看待事物的思想。在日常生活中以数学归纳法的思想看待问题可以帮助我们很轻松的解决一些看起来很复杂的问题。

数学归纳法的灵魂是递归思想。贯彻好数学归纳法的思想，不但可以帮助我们做“进”的思考，还能辅助我们做“退”的思考。把一个比较复杂的问题，“退”成最简单最原始的问题，把这个最简单最原始的问题想通了、想透了，然后再用数学归纳法来一个飞跃上升，于是问题就迎刃而解了。

在实际生产中，运用数学归纳法的实例也是比比皆是，如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法。在我们普通人的生活中，比如排队对齐问题，运用老师教的经验我们很快就整齐了，可是这些经验是怎么出来的呢？这就好像我们一直知道“1+1=2”，可是它为什么等于2呢？真正贯彻数学归纳法于思想中，认识事物将从本质出发，或许还能留下一些经验给后人以方便。