正态分布考点例析

陈静　鄢文俊

正态分布可以理解成一种“常态”分布. 在日常生活、生产与科学实验中，一些随机变量的取值情况“不约而同”地呈现着某种相似规律——其取值的概率分布都近似地可以用正态分布来描述. 比如，某个地区的年降水量、某地当年西瓜产量、理想气体分子的速度分量等等，它们服从或近似服从这种分布规律. 对正态分布的考查多以中低档题目为主，一方面是考查正态分布的基本概念、性质和计算，另一方面，如何将它们与实际生活进行结合是近几年高考命题的热点.

正态分布的基本概念与性质

例1 已知三个正态分布密度函数[φix=][12πσie-x-μi22σi2][（x∈R，i=1，2，3）]的图象如图所示，则（ ）

A. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3]

B. [μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]

C. [μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3]

D. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]

解析 由正态曲线关于直线[x=μ]对称知，[μ1<μ2=μ3.] [σ]的大小决定曲线的形状，[σ]越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；[σ]越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则[σ1=σ2<σ3.] 也可由[φ1（μ1）=φ2μ2>φ3μ3]得，[12πσ1=12πσ2>12πσ3]，即[σ1=σ2<σ3].

答案 D

变式1 设两个正态分布[X?Nμ1，σ12，][Y?Nμ2，σ22，]其密度函数分别为[φ1x]和[φ2x]，图象如图所示，则有（ ）

A. [PY≥μ2≥PY≥μ1]

B. [PX≤σ2≤PX≤σ1]

C. 对任意正数[t，][PX≤t≥PY≤t]

D. 对任意正数[t，][PX≥t≥PY≥t]

答案 C

点拨 此类题主要考查正态分布的概念和性质，故要理解概念，掌握性质，特别是参数[μ，σ]的实际意义和几何意义是考查的热点.

服从正态分布的基本计算问题

例2 设随机变量[ξ]服从标准正态分布[N0，1]，已知[Pξ<-1.96=0.025]，则[Pξ<1.96=]（ ）

A. 0.025 B. 0.050

C. 0.950 D. 0.975

解析 法一：∵[ξ]～[N0，1]，

[∴Pξ<1.96=P-1.96<ξ<1.96]

[=Pξ<1.96-Pξ<-1.96]

[=1-2Pξ<-1.96=0.950.]

法二：因为曲线的对称轴是直线[x=0]，所以由对称性知，

[Pξ>1.96=][Pξ≤-1.96=][Pξ<-1.96=0.025.]

∴[Pξ<1.96=]1-0.25-0.25=0.950.

答案 C

变式2 某地区某年参加高考的人数约为6万人，数学满分为150分，学生的数学成绩服从正态分布[N90，σ2]，超过120分的人数约占总人数的[120]，据此估计数学成绩在60分到90分之间的人数约为（ ）

A. 0.3万人 B. 2.7万人

C. 3.3万人 D. 5.7万人

答案 B

点拨 能熟练应用以下正态曲线的性质解题，并注意数形结合和转化化归思想的运用. （1）正态曲线与[x]轴之间的面积为1；（2）正态曲线关于直线[x=μ]对称，从而在关于[x=μ]对称的区间上概率相等；（3）[PX正态分布的实际应用

例3 在某次数学考试中，考生的成绩[ξ]服从一个正态分布，即[ξ?N（90，100）.]

（1）试求考试成绩[ξ]位于区间（70，110）上的概率是多少？

（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？（参考数据：若[ξ～N（μ，σ2）]，有[Pμ-σ