高中三角函数教学常见问题探析

王威

三角函数是目前高中数学课程中较为传统的内容，也是高考数学中的重要考点，学好三角函数不仅是高中阶段的重要任务，也是为大学数学打好基础的重要前提.学生进入高中后，在数学学习方法上大都还是采用初中数学的学习方法，这样的学习方法对于更注重抽象思维的高中数学来说不再适用，导致很多学生在学习上会面临学习困境.因此研究高中三角函数的教学问题，对于解决学习和教学中的困难，提高教学效率具有重要意义.

一、高中三角函数教学中常见的问题

1.缺少预习和复习，一旦遇到困难就打退堂鼓

受初中阶段的学习习惯的影响，上高中后很多学生依然采用初中的学习方式.在初中阶段的数学课程，每堂课的教学任务较少，在上完课后都会留下充足的时间让学生去回顾和总结.但是到了高中以后，课堂容量加大，学生能够独立支配的时间减少，在教学内容上不再是单纯的计算，更注重学生抽象思维的训练.由于养成了当堂预习和复习的习惯，进入高中后这样的方法不再适用，阻碍了三角函数的有效学习.

由于初中阶段三角函数相对简单，学起来不费劲，养成了学习不刻苦的习惯，在高中阶段一旦遇到困难的题目就打退堂鼓，看答案.有的学生一遇到一知半解的问题就求助于参考书和同学，并没有对详细的解题过程进行推敲.

2.公式学习不求甚解

高中三角函数这一章节的公式相对较多，很多学生面对这些公式无从下手，有时候在解题过程中不知道该用哪个公式.例如，三角函数的诱导公式一的应用，sin（390°）=sin（30°+360°）=sin30°=1/2.已知tanβ=3/4，求sinβ，cosβ.很多学生一看到这个问题就会想到同角的正切值就等于它的正余弦比，却忽略了同角正弦平方加余弦平方的和等于一的特点.还有，在进行简化求值方面的解题时，很多学生不知道该用哪个公式，具体的步骤应该如何去做，其实只需要将角化成诱导公式左边角的形式就可以利用公式进行简化了.导致这一问题产生的根本原因就是不理解公式的内涵和公示的运用条件，也缺乏对公式的练习.

3.易忽略有字母的三角函数值的符号

在三角函数的运算过程中很多学生会忽略三角函数值的符号.例如，已知sinα=-3/5，求cosα，tanα的值.很多学生出现在求解cosα时，直接利用sin2α+cos2α=1的变式cosα=1-sin2α进行求解的错误解法.再如，已知tanα=-3，求sinα，cosα的值，可以利用三角函数的基本关系式组成sinα，cosα的二元一次方程组，根据给出的条件可以看出α是第一象限或第三象限角，然后根据不同的象限分开讨论.很多学生在解题的过程中，往往忽略了条件的设定，在使用运算公式时也容易忽略符号.

4.在运用诱导公式时，对符号的把握不到位

在三角函数整个知识章节中，总共有16个公式用于问题的解答.在运用这些公式时，往往难以确定符号，从而造成解题错误.弄错符号容易分不清主体和部分，在利用诱导公式二sin（π+α）=-sinα时，将α看做是一个锐角，而π+α就是第三象限角，根据正弦值在第三象限是负值，所以得出了公式中的“-”.但是学生在做题过程中却是直接根据角的终边落在第几象限来确定公式后的符号，这样一来就用错了三角函数的解题公式.

5.用几何语言表示终边相同的角不够准确

在直角坐标系中，经过原点的一条射线，终边落在这条射线上的角的集合有很多种表示方式，但是这些终边相同的角的集合都是相同的，都可以表示为S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.但是很多学生却不知道如何选择终边相同的角α.在求终边落在经过原点的直线上的角的集合的时候，应先将直线分成两条经过原点的射线，根据定义的要求，将终边落在两条射线上的角的集合写出，最后将这两个角的集合并集就得到了结果.但是学生往往在求并集的时候出现问题，他们对式子中的k·360°不会进行化简，还有学生合并完了，但是在书写上出现错误.

二、高中数学三角函数教学策略

1.利用口诀熟记公式和符号

在高中数学三角函数部分有众多公式，这些公式对于学生来说非常不容易背诵，有时候死记硬背下来，但在用的时候还会出现偏差，利用口诀能够记得既准又牢固.例如，可以根据公式一到公式四的特点，把它的性质归纳为“函数名不变，象限定正负”，公式五和公式六可以归纳为“函数名改变，象限定正负”，还有些学者将诱导公式汇总成了两句话“奇变偶不变，象限定正负”.另外记忆三角函数四个象限符号的口诀可以定义为：“上正、右余、对角切”这样一来学生就可以准确的判定出函数的符号.

有些学生虽然能够准确无误的写出诱导公式，但是对于解题还是没有头绪，不知道从何处下手，为此，有些人总结出了化简题的口诀“负化正，大化小，化到锐角求解值”这样一来，对于大部分的题目都可以通过口诀的形式完成解答.

在对诱导公式的掌握中可以进行如下教学设计：

首先通过预设情景引出诱导公式，通过引导学生观察诱导公式，让他们说出诱导公式的结构特征.（终边相同的角的三角函数值相同，把任意角的三角函数值的问题都缩小到0°～360°角的范围内进行解答）通过练习题，练习三角函数中角的变换.（将sin1110°简化成公式的形式），通过观察210°与30°角的终边的关系来进一步理解三角函数之间的转化关系.

其次，通过引入问题，观察sinα与sin（π+α）的图像位置关系，引导学生进行猜测.

（1）角α与角（π+α）的终边的关系是什么？

（2）α与（π+α）的终边分别交以O为圆心的圆于P和Q两点，那这两点的关系如何？

（3）如果P点的坐标为（x，y），那么Q点的坐标是多少？

根据上述问题提出sinα与sin（π+α），cosα与cos（π+α），tanα与tan（π+α）之间的关系如何？通过对这些式子的观察，总结规律，尝试用一个式子表示出来，并在黑板上板书.再用相同的方法归纳出其他的公式.

然后，通过例题的讲解，熟悉对公式的运用.最后结合教师总结的口诀，学生通过练习题，加以理解和巩固.

2.利用多媒体，形象演示函数变化的难点

经过观察发现，很多高三年级的学生会在函数的基本变化上出现问题，经过询问才知道，他们根本没有掌握好函数变化的过程和内容.在进行三角函数教学时，教师如果仅仅是利用传统的“粉笔+黑板”模式进行教学，很难体现函数的变化特性，不利于学生的理解，甚至还会产生厌烦情绪.

在函数变换教学中重点需要解决的问题有三个，第一，单个变量对函数的影响；第二，三个变量之间的联系；第三，对y=Asin（ωx+φ）函数图象的理解和应用.如果利用多媒体，可以将抽象的函数问题具体化，由静态转为动态，使学生通过形象思维和抽象思维相结合的方式理解内容，提高学生的兴趣，优化课堂教学.

首先选取A=3，ω=2，φ=π3，利用计算机做出如图1所示各图像，通过由y=sinx向y=sin（x+π3）过渡，由y=sinx向y=sin2x过渡，y=sinx向y=3sinx过渡，教学中通过问题引导，帮助学生观察.例如：让学生通过小组合作的形式，讨论函数在运动过程中发生变形了吗？发生了什么变化？来让学生了解单个变量对函数的影响，通过图形的演示，让学生充分理解函数图象的这些问题，进而自己总结函数图象的基本变换理念.

图1学生在了解了函数图象的变化过程后，再在做题过程当中遇到一些未曾见过的问题，学生就会对这一部分的知识灵活运用了.例如函数y=Asin（ωx+φ）+B怎么变化？首先可以通过换元的方式，令G=Asin（ωx+φ），这样一来就可以转化为y=G的图像，然后将该图像向上或向下平移B个单位，得到y=Asin（ωx+φ）+B的图像.

3.通过变式练习，提高学生对三角函数的应用能力

在三角函数章节中，不仅要熟练掌握三角函数的各个公式，还要掌握应对各种题型的解题技巧，这样才能够在解题过程中，更加方便快捷地利用公式进行解题.教师可以寻找一些具有代表性的题目，保持题目本质的前提下不断变换形式来考察学生，培养学生的解题思维，提高学生对三角函数的应用能力，提高解题效率.

（收稿日期：2015-10-12）