借助几何直观提高学生解决问题的能力

钟春伟

摘要：《数学课程标准》（2011版）第一次将“几何直观”作为核心理念提出。但是，在实际教学中不少学生在解决问题时往往不能恰当地借助几何直观，明晰数量关系。总的来说，主要有三种表现：利用几何直观解决问题的意识较弱；利用几何直观解决问题的经验积累不足；对几何直观图背后的数学本质理解不到位。

关键词：几何直观；解决问题；意识；经验；本质

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）18-0279-02

《数学课程标准》（2011版）第一次将“几何直观”作为核心理念提出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”然而，在实际教学中不少学生在解决问题时往往不能恰当地借助几何直观，明晰数量关系。

如：东升小学六年级（02）班男孩人数比女孩人数多25%，女孩人数是全班人数的（ ）。

学生练习后，反馈：

生1：我没办法。

师：你是怎么想的？

生1：女孩人数是单位“1”。

师：你判断得非常准确，有没有办法找出女孩人数和总人数的关系呢？

生1：（挠头）：我没办法……

生2：我是画图，可是我画不好……

师：我们可以把女孩人数看作单位“1”，男孩人数比女孩多25%，就是1+25%=125%，也就可以把男孩看作是1.25，……

生3：啊？人怎么可能1.25个？

……

很明显，有部分学生利用几何直观解决问题的能力是极弱的，相信这样的学生也不会是个例。我们绝不能简单地将这种现象归因为学生的基础问题、智力问题，仔细分析我们会发现三位学生存在以下问题：

1.“没办法”这类学生，问题在于利用几何直观解决问题的意识较弱。借助线段图等几何直观方式有助于学生对知识的理解，我们在教学中也经常使用几何直观进行分析，为什么我们的孩子不习惯运用？这是因为对于这些学生来说，他们没有体会到几何直观的优势所在，导致了他们利用几何直观解决问题的意识较弱。

2.“画不好”这类学生，问题在于利用几何直观解决问题的经验积累不足。反观我们的教学，可以发现许多教师只是偶尔呈现几何直观的相关材料，学生能即时产生有效结果就草草了事，重结果而轻过程。很多时候我们很少会有意识地选择一些学习材料，供学生经常性地利用几何直观解决问题，造成經验的积累不足，长此以往，学生在解决实际问题时自然就不会用直观的图形语言来分析问题。

3.“人怎么可能1.25个”这类学生，问题在于对几何直观图背后的数学本质理解不到位。由于对分数意义的理解不深刻，无法顺利提取相关的储备知识，对数的认识还不能从具体数量过渡到对关系的考虑上，所以对这类没有具体数量的计算显得力不从心。

冰冻三尺非一日之寒。我们的日常教学出现了问题，就得在日常教学中去解决，针对几何直观意识薄弱、经验积累不足、本质理解不到位，我们可以从以下三方面加以改进。

一、学为中心，培养意识

众所周知，只有学生的学与教师的教相统一的教学活动才是有效的教学，学为中心，以学定教，教师的教只有紧紧地贴合学生的学，方能有效。在解决问题的过程中，很多学生看到问题后往往会感到无从下手，不知道应该从何去分析。在这种迫切的需要与深度的困惑下，教师适时介入，更能让学生深切体会几何直观对理解和分析问题的价值，从而培养他们借助几何直观理解和分析问题的意识。例如一位老师在执教《小数乘法》时出了一道出租车的计价问题：

钟老师从八都镇打车到学校25公里，总共要付多少元？（龙泉市出租车收费标准：起步里程3公里，起步价8.00元。3公里后，每公里1.50元。超出15公里以上部分每公里1.80元）

教师让学生在小组内进行交流，理解收费标准。然后集体反馈得出：起步里程3公里，起步价8.00元就是0～3公里（包括3公里），无论走多少，都收10元钱。3公里～15公里（超出3公里，包括15公里）这一部分路程，每公里收费是1.50元。15公里以上（不包括15公里），每公里收费是1.80元。要分三种情况考虑。

师：看了这道题，你有什么感觉？

生：太麻烦了，都记不住！

师：那怎么办呢？怎么看着就不那么麻烦了？ 生（异口同声）：画图。

经过操作很多学生绘制了示意图。（基本上分为三段并标上了各段的单价）

二、积累经验，提升能力

史宁中教授指出：“直观并不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强。”由此，积累几何活动经验就成为数学教学的一个更加直接的目标和追求。拥有丰富的几何活动经验并且善于思考的人，他的几何直观更有可能达到更高的水平。但我们要明白，“几何直观”并不仅仅与“几何”相关，在数与代数、统计与概率、综合与实践活动领域都应该抓住契机，有意识地渗透在日常的教学环节中。比如，在《有余数除法》的教学中，为了让学生进一步理解余数的含义，一位老师采取了以下环节：

师：请大家观察这种摆法，15盆花，每组摆6盆，摆了2组还余3盆，现在假如再增加1盆花，16盆，摆的结果会怎样呢？

请大家闭眼想一想，然后画一画，看看想的和画的是否一样，并用式子表示。

反馈：

16÷6=2（组）……4（盆）。

师：再增加2盆呢？ 生：18÷6=3（组） 师：为什么不是2（组）……6（盆）？

你看图上明明是2组余6盆么。

生：因为这个6盆又可以摆成一组了。

教师将6盆圈为1组。

师：猜猜陈老师接下来打算摆多少盆花？

生：19盆，每组摆6盆，摆成3组还余1盆。

师：（出示一片花）现在有这么多的花，每组摆6盆，假如摆到最后花会多出来，可能会多出几盆呢？

生1：可能会多30盆。

生2：不对的。30盆的话，那还可以再摆成好几组了。

生3：可能会多2盆。

生4：可能会是1盆、2盆、3盆、4盆、5盆。

师：6盆为什么不行？

生：6盆就可以再摆一组。……

上面这个环节，通过直观图的操作丰富了学生的活动经验，使几何直观真正成为学生参与数学活动、形成数学知识的有效中介，让学生更好地理解了余数和除数间的关系。由此可见，几何直观经验的积累藏身于各个领域，应抓住契机，尽可能增加学生几何直观经验的积累，从而提升学生的能力。

三、理解至上，直击本质

教师不应只局限于形式化的表达，应强调对数学本质的認识，否则会将有血有肉的数学思维活动淹没在“枯燥的形式化海洋里”。如：有的年轻教师在执教乘法分配律这一内容时，受功利性驱使，而不顾学生已有的知识经验，“引导”学生写出几个等式，而后组织学生发现规律、近而概括出乘法分配律。

教学片断：

师：同一个问题我们常常可以用不同的方法来解决，咱们来试一试。

课件出示：乒乓社团的李老师到商店购买一些乒乓球，他打算买这样白色的6筒，黄色的4筒，每筒为8只装。李老师一共购买了多少只乒乓球？

（学生尝试解决）。

师：谁来介绍你的解决方法。

生：（6+4）×8和6×8+4×8。（教师板书）

师：说说你是怎么想的？

生1：6×8+4×8就是先算白色的要买多少只再加上黄色的要买多少只，也就是算6个8加上4个8。

师：教师课件出示两种图（第一种6个8白色加4个8黄色，分开；第二种10个8）

师：这两个算式虽然不一样，但都在算10个8是多少，所以结果是一样的，看来这两种方法都能解决这一问题，在数学上，我们就可以用“=”把相等的两个算式连起来，变成一个等式。

板书：10个8 6个8 4个8 （6+4）×8=6×8+4×8 ……

师：同学们，黑板上出现了这么多有趣的等式，仔细观察，你们觉得这样的等式还有吗？谁来说一说。

生举例：（11+9）×8=11×8+9×8（45+55）×6=45×6+55×6

25×（40+4）=25×40+25×4 ……

师：这样的等式说得完吗？

生：说不完。

师：你能不能找到一个万能等式，能够代表所有的像这样的等式？

生1：（★+●）×■=★×■+●×■。

生2：（你+我）×他=你×他+我×他。

……

师：同学们真了不起能用图形、文字来表示这样的等式，在数学中，我们通常用字母来表示这样的规律：（a+b）×c=a×c+b×c，它叫作乘法分配律。

总之，几何直观在解决问题教学中有着不可替代的作用，它可以让我们的学生打开思维的大门，开启智慧的宝库，突破理解的难点，培养理性的品质。只有让学生在图形和问题之间自由翱翔，才能帮助学生实现对数学内容的深入理解。加强利用几何直观解决问题的意识，增加几何直观解决问题的经验积累，注重几何直观背后的数学本质理解，提高学生解决问题的能力，是一个任重而道远的过程。