分式易错题分析研究

杜宣

甘肃省教育科学“十二五”规划2014年度《初中学生数学易错题分析研究》课题（课题批准号：GS[2014]GHB0668）成果.

《分式》这一章是中华人民共和国教育部于2013年审定的、人民教育出版社出版的义务教育教科书《数学》八年级上册的内容之一，本章内容是每年中考的热点考题之一，但由于主观和客观方面的原因，学生极容易做错本章中的有些题.下面我就本章中学生容易做错的一些题进行了抄写和归类，做出错因分析，并给出正确解法.

1. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

，x - 1，，，，，（x + y），，.

错解：x - 1是整式；，，，，（x + y），，是分式.

错因分析：由于对分式的概念理解不清楚、不深刻、不透彻而出错.具体地说就是只看表面现象，即误认为只要有分数线的就是分式.

正解：x - 1，，（x + y），是整式；，，，，是分式.

事实上，形如（A，B表示两个整式，且B中含有字母）的式子叫做分式.A中可以不含字母，但B中必须含有字母.

2. 当x满足什么条件时，分式有意义？

错解：令x（x - 1） ≠ 0，则x ≠ 0或x - 1 ≠ 0，即x ≠ 0或x ≠ 1. 所以当x ≠ 0或x ≠ 1时，分式有意义.

错因分析：条件x ≠ 0或x - 1 ≠ 0表示两层含义，即要么x ≠ 0，要么x - 1 ≠ 0.当x ≠ 0，而x - 1 = 0时，x（x - 1） = 0；当x = 0，而x - 1 ≠ 0时，x（x - 1） = 0.

正解：令x（x - 1） ≠ 0，则x ≠ 0且x - 1 ≠ 0，即x ≠ 0且x ≠ 1. 所以当x ≠ 0且x ≠ 1时，分式有意义.

实际上，分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即B ≠ 0时，分式才有意义.

3. 当x满足什么条件时，分式的值为0？

错解：令x（x + 2） = 0，则x = 0或x = -2.所以当x = 0或x = -2时，分式的值为0.

错因分析：由于考虑问题不全面而出错.即只考虑了分子的值为0，而没有考虑分母的值不能为0的情况.

正解：将原分式化成.

当x + 2 ≠ 0时， = . 而x = 0时，x + 2 ≠ 0，且x + 3 ≠ 0.

所以当x = 0时，分式的值为0.

实际上，分式的值为0是在分式有意义的条件下来说的，当x = -2时，分式分母x2 + 5x + 6的值为0，此时分式无意义.

4. 计算2.

错解一：2 = = = .

错解二：2 = = -.

错因分析：由于没有弄清楚分式乘方的运算法则而出错.具体说就是错解一只给分子乘方，没有给分母乘方；错解二只给分母乘方，没有给分子乘方.

正解：2 = = = .

实际上，分式的乘方要把分子和分母分别乘方.

5. 计算 = .

错解： = = = = .

错因分析：由于没有弄清楚异分母分式的加法运算法则而出错.具体说就是误认为分式的加法就是分子加分子，分母加分母.

正解： + = + = = .

实际上，在做异分母分式的加减运算时，先要根据分式的基本性质通分转化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则来计算.

实际上，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，但求出的整式方程的解还需要代入最简公分母中加以检验，如果最简公分母的值不等于0，那么求出的整式方程的解就是原分式方程的解；如果最简公分母的值等于0，那么求出的整式方程的解就是原分式方程的增解（根），从而说明原分式方程无解.

当然《分式》这一章中的易错题绝不仅限于此，而且这些易错题也可以防范，这就要求学生在做题时要：正确理解概念的本质，使概念间不出现混淆现象；正确运用运算法則；全面考虑问题，避免出现漏解或增解.