积分几何在中国的研究简介

摘 要 本文主要介绍积分几何学的产生与发展，以及对中国学者利用积分几何对等周不等式的研究现状进行总结和展望。

关键词 积分几何 几何概率 包含测度 等周不等式

中图分类号：O187 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.017

Abstract The paper mainly introduces the growing history and development of integral geometry， summarizing and prospecting the research status of Isoperimetric Inequalities by using integral geometry of Chinese scholars.

Key words integral geometry； geometric probability； containment measure； isoperimetric inequality

1 积分几何简介

积分几何是利用积分考察和研究几何图形性质的一门学科，是研究具有凸性对象的一种有力工具。积分几何，过去也称为几何概率，它主要起源于1773 年布丰投针实验。

设有一个可度量区域，向区域内任意投一质点，假设该点落于区域内任一位置是等可能的，且落在内任何子区域上的可能性与的度量（如长度，面积等）成正比，而与的位置和形状无关，则这个试验称为几何概型试验。利用几何度量，如线段的长度、图形的面积等求出部分的区域面积与总面积的比，部分线段的长度与整条线段长度的比，把这样计算的概率在数学上称为几何概率。

积分几何主要以图形集合的测度为基础，研究元素集的不变测度。积分几何和概率与统计紧密联系，通过这类测度得出的各种几何不等式对其他学科和许多数学分支起着重要的作用。在数学在发展历程中，克罗夫顿，贝特朗，H.庞加莱等的一系列有意义的研究工作，导致积分几何这门学科的建立。德国数学家W.布拉施克与他的合作者发表了一系列重要论文，使积分几何从此作为几何学的一个新分支得到系统而深入的发展。

2 积分几何与等周不等式的发展

在几何学的发展史上，等周不等式是古典微分几何学中一个著名、最基本的不等式，是指平面上固定周长的所有平面简单闭曲线中，圆所围成的面积最大，即：欧氏平面中，是周长为的平面单闭曲线所围成的面积，则有

≥0

式中等号成立当且仅当是圆盘。

等周不等式可以推广到维欧氏空间中，即有

≥0

其中为包含域的体积，为域的表面积，等式成立当且仅当为标准球。

周家足教授等几何学家利用积分几何方法得到不同等周不等式的证明方法，并得到许多新的成果。中国积分几何学家任德麟等对积分几何的各个领域都做出了极有意义的工作。特别是在凸体理论的研究中取得较为突出的成绩，他建立了欧氏和非欧空间凸体内定长线段运动测度公式，在弦幂积分不等式到维欧氏空间的推广、Buffln投针问题的推广等方面取得重大成果。著有代表性论著《积分几何引论》，并在国内外学术刊物上发表多篇关于积分几何方面的论文，也由此形成了确定概率的另一重要方法，即利用概率来研究几何的方法。

3 积分几何与等周不等式的进一步研究

在1940年前后，德国数学家布拉施克在德国汉堡大学举办的数学讨论班中，讨论了利用概率对各种凸体及整体微分几何的研究，并导致了积分几何这门学科的产生，从而正式成为数学的一个重要分支。著名几何学家陈省身、吴大任、Santal虻榷级曰旨负蔚难芯孔龀鲋卮蟮墓毕祝绯率∩砗蚖eil把局部紧群引入积分几何，吴大任和苏步青分别计算弦幂积分和研究三维球几何，而后来Santal蛟诨旨负沃械慕艹龉ぷ鳎晌旨负蔚牧煨浜痛笫ΑU怯捎谒羌幸庖搴涂匦缘墓ぷ鳎鸦旨负蔚难芯刻岣叩揭桓稣感碌牧煊颉6砺匏故Ъ褿elfand以及Helgason的工作，也称为积分几何。

3.1 Bonnesen型Ros等周不等式

几何不等式是几何学乃至整个数学中最具实质性意义，也是最耐人寻味的重要课题之一。从上世纪到今天，对于它的研究，不仅有了重要发展，今后仍然是值得数学工作者关注的一个重要分支。以周家足教授为代表的中国几何学者利用包含测度的思想研究欧氏空间中一域包含另一域的包含测度，使得在后来的研究中，包含测度成为研究积分几何不等式的一个重要的思想方法，并在平面情形得到了等周不等式、Bonnesen 型不等式及一些新的几何不等式的统一证明。这一方法对高维欧氏几何的推广、发现新的积分几何不等式，以及对解决一些长期未能解决的几何问题有重要意义，使得积分几何与等周不等式的在中国的研究得到了积极的推进，也取得了重大的突破。

设为欧氏空间中的域，体积为，为嵌入在中的闭光滑曲面，为的不变密度，若平均曲率≥0，则：

≥

等号成立当且仅当为一标准球面。

在欧氏平面中，周家足得到了类似的不等式：

≥2

等号成立当且仅当%<为圆。其中%<欧氏平面中长度为的简单闭曲线，%<的弧长为，为曲率，为%<围成的面积。

利用等周不等式，后来周家足还把上式还进一步加强为

≥

等号成立当且仅当%<为圆。

此外，周家足及其学生等也对欧氏平面上经典的等周亏格与空间中的Ros等周亏格做了系统的研究，得到了许多新的Bonnesen型Ros等周不等式，取得了丰硕的成果[7-12]。

3.2 常宽凸集及相关研究

常宽凸集是一类特殊的凸集，而圆是最常见，也是最简单的常宽凸集。 Reuleaux在1876年构造出一种非圆的常宽凸集：在等边三角形△中分别以为圆心，为半径作弧，由这三段弧首尾相接并得到非圆的常宽凸集，称为Reuleaux三角形。

由等周不等式可知，所有平面常宽凸集中圆所围成的面积最大，所有宽度为的平面常宽凸集中，Reuleaux三角形的面积最小[1-3]。

徐文学等在文[8]中构造了一类新的常宽凸集，即由对角线等于底边长构造出的一类常宽等腰梯形，并且得到宽度为的常宽等腰梯形的面积为：

关于常宽等腰梯形等周亏格的进一步研究，周家足等得到一系列重要的新的不等式，包括中的等周不等式，分析型不等式，曲面（流形）上的等周不等式，变分等周不等式，以及常曲率平面中关于面积、周长和最大内切圆以及最小外切圆半径的Bonnesen-型不等式[10-14]，它们不仅丰富了等周不等式的内容，也极大地推动了等周不等式的研究。

4 展望

在未来的数学及其他学科研究中，积分几何仍作为几何学的一个分支，将得到几何学家系统而深入的发展，积分几何的研究是将进一步从欧几里得平面和三维欧几里得空间开始以后，继续推广到高维欧几里得空间和非欧几里得空间，最后归结为满足一定条件的齐性空间。同时也期望在不同的常曲率空间的积分几何进一步发展，取得更多更新的成果，以及在欧氏平面、高维欧氏空间、非欧几何空间以及齐性空间等的积分几何研究将有更大的突破。如欧氏平面上等周亏格的上界估计，欧氏空间（>2）中等周亏格的上界估计，用积分几何方法研究分析中的Wulff 流、Wulff等周不等式、曲面（流形）的中曲率流的问题，用积分几何中包含测度的办法研究平面两凸域仅在平移群作用下的包含问题，即对称混合等似亏格、Bonnesen 型对称混合等似不等式，由平面偶数边形构造常宽凸集及欧氏3维空间中的Blaschke-Lesbegue 问题等还需要作更深入和系统的研究。

参考文献

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