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图形关系对判别式的作用

2016-05-30吴金梅王斌

读写算·素质教育论坛 2016年19期
关键词:实根判别式一元二次方程

吴金梅 王斌

宜城市龙头中学,湖北 宜城 441400

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2016)19-0039-01

上完人教版初三代数《一元二次方程》进行章节检测时,检测第九题是这样的:

已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,求x12+x22的最大值。

有不少学生是这样解的:

由题意,得x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5

∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)

=-k2-10k-6=-(k+5)2+19

由此学生断定当k=-5时,x12+x22的最大值为19。实际上,当K=-5时,原方程中的根的判别式△<0,许多学生忽略了这一点。

学生出现失误的主要原因,应该是忽视了判别式的应用范围,或者说对其模糊不清。为此,笔者认为可以从以下四个方面加以重视。

一、重视判别式和根与系数的关系,实际应用中它们常常相互依存

例1:(就以开篇列举的这道检测题为例)

解析:显然,此题有△=-(K+4)(3K+4)≥0,即-4≤K≤-;再由根与系数的关系推出X12+X22=(X1+X2)2-2 X1X2=19-(K+5)2。至此,方显现出只有二者的相互依存,才能求出正确答案,即K=-4时,X12+X22的最大值是18。这是那一方都不可能单独解决的问题。

二、重视方程有二次根式或三角函数参加时,它们的取值范围对判别式的制约

例2:(1)关于X的方程x2+X+K=0有两个不相等的实根,求K的取值范围。

(2)已知方程sin2 -2sin +m=0有实根,且 是锐角,求m的取值范围。

解析:解此二题均可首先从判别式入手:

即△(1)=()2-4K>0,则K<1;△(2)=4-4m≥0,则m≤1。再次,被开放数的取值范围不能忘,即K+3≥0,所以K≥-3,故K的取值范围是-3≤K<1;而由锐角三角函数的取值范围可知:0三、重视方程涉及几何图形时,图形关系对判别式的作用

例3:已知a,b,c为△ABC的三边长,试判断二次方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的根的情况。

解析:判别一个一元二次方程根的情况要用根的判别式,而判别式:

△=(b2+c2-a2)2-4b2c2=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)。显然,要用到三角形中的两边之和大于第三边的关系式。

因为b+c-a>0,b-c+a>0,b-c-a<0,b+c+a>0,所以△<0。

故方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0无实根。

四、重视已知条件与结论之间的呼应,试题往往在这方面隐含玄理

例4:已知方程(k2-1)x2+(k-1)x+1=0。试解:(1)K为何值时,方程存在实根;(2)K为何值时,方程有两个实根。

解析:题(1)的方程存在实根,隐含着方程可以是一次,也可以是二次。分别有K=1时,方程无解;K=-1时,有-2X+1=0,则x+;k≠?时,△=(K-1)2-4(K2-1)≥0, 综合知,当-≤k<1。综合知,当-≤k<1时。方程存在实根。题(2)的方程有两个实根,隐含着方程必为二次,所以有k≠?,且△≥0。所以-≤k<1或-1

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