图形关系对判别式的作用

吴金梅　王斌

宜城市龙头中学，湖北 宜城 441400

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0039-01

上完人教版初三代数《一元二次方程》进行章节检测时，检测第九题是这样的：

已知x1，x2是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，求x12+x22的最大值。

有不少学生是这样解的：

由题意，得x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5

∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）

=-k2-10k-6=-（k+5）2+19

由此学生断定当k=-5时，x12+x22的最大值为19。实际上，当K=-5时，原方程中的根的判别式△<0，许多学生忽略了这一点。

学生出现失误的主要原因，应该是忽视了判别式的应用范围，或者说对其模糊不清。为此，笔者认为可以从以下四个方面加以重视。

一、重视判别式和根与系数的关系，实际应用中它们常常相互依存

例1：（就以开篇列举的这道检测题为例）

解析：显然，此题有△=-（K+4）（3K+4）≥0，即-4≤K≤-；再由根与系数的关系推出X12+X22=（X1+X2）2-2 X1X2=19-（K+5）2。至此，方显现出只有二者的相互依存，才能求出正确答案，即K=-4时，X12+X22的最大值是18。这是那一方都不可能单独解决的问题。

二、重视方程有二次根式或三角函数参加时，它们的取值范围对判别式的制约

例2：（1）关于X的方程x2+X+K=0有两个不相等的实根，求K的取值范围。

（2）已知方程sin2 -2sin +m=0有实根，且 是锐角，求m的取值范围。

解析：解此二题均可首先从判别式入手：

即△（1）=（）2-4K>0，则K<1；△（2）=4-4m≥0，则m≤1。再次，被开放数的取值范围不能忘，即K+3≥0，所以K≥-3，故K的取值范围是-3≤K<1；而由锐角三角函数的取值范围可知：0三、重视方程涉及几何图形时，图形关系对判别式的作用

例3：已知a，b，c为△ABC的三边长，试判断二次方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0的根的情况。

解析：判别一个一元二次方程根的情况要用根的判别式，而判别式：

△=（b2+c2-a2）2-4b2c2=（b+c+a）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a）。显然，要用到三角形中的两边之和大于第三边的关系式。

因为b+c-a>0，b-c+a>0，b-c-a<0，b+c+a>0，所以△<0。

故方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0无实根。

四、重视已知条件与结论之间的呼应，试题往往在这方面隐含玄理

例4：已知方程（k2-1）x2+（k-1）x+1=0。试解：（1）K为何值时，方程存在实根；（2）K为何值时，方程有两个实根。

解析：题（1）的方程存在实根，隐含着方程可以是一次，也可以是二次。分别有K=1时，方程无解；K=-1时，有-2X+1=0，则x+；k≠？时，△=（K-1）2-4（K2-1）≥0， 综合知，当-≤k<1。综合知，当-≤k<1时。方程存在实根。题（2）的方程有两个实根，隐含着方程必为二次，所以有k≠？，且△≥0。所以-≤k<1或-1