地方本科院校高等数学课程中空间解析几何教学的几点建议

黄春妙

摘要：高等数学教材涉及到微积分、空间解析几何与向量代数、线性代数等内容，这三个内容联系紧密。在教学过程中，很多学习者没有重视它们之间的内在联系，导致在知识的理解和应用方面出现了困难，因此需要老师在教学中重视相关知识的联系。本文主要从空间解析几何对微积分的影响方面给出空间解析几何内容教学的几点建议。

关键词：地方本科院校；高等数学；空间解析几何

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）23-0218-02

高等数学是理科及工科专业的一门重要的公共必修课，空间解析几何与向量代数和微积分在教材中分布在不同的章节里面，在教学过程中，很多学习者经常把它们看作孤立的知识点，没有重视它们之间的内在联系，导致在知识的理解和应用方面出现了困难，特别是空间解析几何中二次曲面的内容在多元函数微积分里面有广泛的应用，很多学习者在学习三重积分时对三维立体图形缺乏空间感，感觉三重积分计算无从下手。因此掌握好空间解析几何的内容非常重要，老师在教学方面尤其要重视它们之间的联系。本文主要从空间解析几何对微积分的影响方面给出空间解析几何内容教学的几点建议。本文针对同济大学数学系编的第六版的《高等数学》教材。

一、重视向量及其坐标的学习

解析几何的主要思想是利用代数方法来研究解决几何问题，利用可以进行计算的定量的工具来研究几何里形状的定性问题，为了将代数运算引入到几何中来，其根本的做法是设法将空间几何结构有系统地代数及数量化。所以，向量和坐标是三维空间解析几何的工具与基础，且向量的应用在本章的重点内容即平面方程与空间直线方程的教学当中体现得非常突出。平面方程及空间直线的方程的建立，其实是向量与向量垂直、向量与向量共面、向量与向量共线等条件的应用，点到直线的距离是要计算两向量的向量积的模。平面与平面的夹角，直线与直线的夹角，直线与平面的夹角统统都是要计算两个向量的夹角。所以，在教学过程中，要非常注重第一节和第二节的学习，第一节是向量的概念和线性运算，理科生在高中已经学过，因此第一节的处理可以让学生提前预习，上课时复习下向量的相关概念，如向量、模、向量表示方法符号、单位向量、自由向量、向量平行（共线）、向量共面等，主要强调向量加减法的作图和向量数乘的概念。第二节中空间点的坐标和向量的坐标要多举几个例子来理解坐标。向量的数量积和向量积要重点强调它们的坐标运算，向量垂直平行的充要条件，为平面和直线方程的建立打下基础。在向量这个内容多安排一些时间，掌握向量这个工具，打好基础，是非常有必要的。向量的概念和运算的特点是概念多、技巧少，所以教师教学一定要强调概念符号的区别，理解每个概念、符号的意义和内涵，许多问题就可以迎刃而解了。

在第一、二节向量的学习内容中涉及到利用向量法解决初等问题的内容，在讲授这些内容时，可以让学生做一些利用向量的知识求解初等几何的作业。

二、在教学中要注意培养学生的空间想象能力，注重提高学生对空间图形的绘制技能和技巧，为微积分的学习打下坚实基础

微积分是理工科学习的一门必修课，而重积分的计算是微积分学的一个重要的内容，计算重积分的一个关键就是要能够根据曲面的方程绘制出一些简单曲面的图形，很多学生在学习这部分内容时都觉得绘制图形很难，在第三节曲面及其方程的处理上，要强调常用曲面（如球面、圆柱面、椭圆抛物面、柱面）的方程特点和图形的形状，要求学生能够用笔纸画出这些常用曲面，另外在上到曲面方程时可直接结合第十章三重积分的课后练习画出三重积分所定义的曲面围成的体，让学生切实感觉的这个内容的重要性，为后面多元函数的积分打好基础。

1.强调空间曲面及曲线方程的一般形式。空间解析几何是利用代数方法来研究及解决几何问题。其基本的思想是数形结合，方法是通过建立标架，建立起空间点、向量与有序数对的一一对应的关系，曲线（面）由点构成，方程由变数构成。通过坐标系的建立将点与数对联系起来，曲线（面）和方程自然也就可以通过坐标系结合起来。因此，研究曲线和曲面几何方面的问题就可以归结为研究它们方程中代数方面的问题了。要建立起平面曲线方程和空间曲面的方程，其基本方法都是将曲线（曲面）上的点所要满足几何方面的条件用代数式子表达出来，而连接几何条件和代数式子的桥梁就是坐标系，不同的是从平面推广到空间范围。如在平面讨论平面图形是用二元方程F（x，y）=0或一元函

启发式教学是应用非常广泛的一种教学方法，通过老师的引导和启发，学生能够思考一些问题，区别于以前的“填鸭式”和“满堂灌”等。学习的主体应该是学生，一定要调动学生的参与意识，第五、六节“平面及其方程”和“空间直线及其方程”主要包括以下三个内容：（1）平面方程如何建立；（2）空间直线的方程如何建立；（3）平面和平面，直线和直线，直线和平面的夹角与它们之间的相关位置。在对向量的概念和运算掌握较好的基础上，建立平面的点法式方程，不过是两向量互相垂直的具体应用。而建立三维空间直线的方程，其实是应用了两个向量共线的条件。至于平面和平面，直线和直线，直线和平面的夹角以及它们的相互位置的概念，在中学立体几何就已经学过，只不过在这里主要应用向量的夹角，向量的平行垂直关系，再通过向量的坐标、曲面曲线的方程来定量研究它们。这个部分可以通过教师启发，让学生自己来构建一个这样的知识体系：（1）空间直线及平面的各种相关关系；（2）每一种相关位置要满足的条件；（3）在每一种相关位置下需要研究什么问题。学生在自己构建这个知识体系的过程中，会自己动手分析和进行研究，而且可以自己检验是否已经掌握了相关知识，老师只适当地作一些指点。通过这种教学方法，学生可以联系以前中学的知识，体验向量这个工具的广泛作用，主动自己参与进来，主动自己探索，在学习过程中感觉轻松而充实，能从中体会到学习的乐趣。

四、充分使用现代教育技术手段

现代教育技术的快速发展加快了课程改革的进度。利用现代教育技术多媒体的辅助教学，一方面有利于提高课堂教学效率和教学质量，另一方面有利于提高学生的空间想象能力。譬如，针对空间解析几何中的柱面、锥面、旋转曲面等这些内容，可以根据柱面、锥面、旋转曲面有比较突出的几何特征这个特点，利用Maple、Mathematica和Flash等软件画出它们的图像，再用动画的形式来展现图像是怎么形成的。通过系统讲解可以让学生受到启发，充分理解所讲的内容。这样既能调动学生的学习积极性，又能培养学生分析问题和解决问题的能力。

参考文献：

[1]吕林根，许子道，等.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]马立.谈《解析几何》课程教学内容与教学方法的改革[J].曲靖师范学院学报，2001，20（3）：95-99.

[4]李琦.空间解析几何教学改革[J].锦州师范学院学报，1998，（6）：17-99.