数学教学中方法的应用

李英

数学思维的培养和训练是小学数学教学中的重点，这毋庸置疑。但就现在的小学数学教学的现状，我觉得这一点并没有得到很好的贯彻和落实，而造成这一现象的一个重要原因我认为是小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。我想通过下面的论述能促进这一方面的深入研究，对于实际教学活动发挥积极的导向作用。

一、数学思维的基本形式—数学化

“数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。”强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的。

事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由“日常数学”向“学校数学”的重要过渡。

例如，在几何题材的教学中，无论是教师或学生都清楚地知道，我们的研究对象并非教师手中的那个木制三角尺，也不是在黑板上或纸上所画的那个具体的三角形，而是更为一般的三角形的概念，这事实上就已包括了由现实原型向相应的“数学模式”的过渡。再例如，正整数加减法显然具有多种不同的现实原型，如加法所对应的既可能是两个量的聚合，也可能是同一个量的增加性变化，同样地，减法所对应的既可能是两个量的比较，也可能是同一个量的减少性变化;然而，在相应的数学表达式中所说的现实意义、包括不同现实原型之间的区别。

应当强调的是，以上所说的可说是一种“数学化”的过程，后者集中地体现了数学的本质特点：数学可被定义为“模式的科学”，也就是说，在数学中我们并非是就各个特殊的现实情景从事研究的，而是由附属于具体事物或现象的模型过渡到了更为普遍的“模式”。

也正由于数学的直接研究对象是抽象的模式而非特殊的现实情景，这就为相应的“纯数学研究”提供了现实的可能性。例如，就以上所提及的加减法运算而言，由于其中涉及三个不同的量（两个加数与它们的和，或被减数、减数与它们的差），因此，从纯数学的角度去分析，我们完全可以提出这样的问题，即如何依据其中的任意两个量去求取第三个量。例如，就“量的比较”而言，除去两个已知数的直接比较以外，我们显然也可提出：“两个数的差是3，其中较小的数是4，问另一个数是几？”或者“两个数的差是3，其中较大的数是4，问另一个数是几？”我们在此事实上已由“具有明显现实意义的量化模式”过渡到了“可能的量化模式”。

综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体现了数学思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩证关系。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说的纯数学研究的意义。特别是，我们是否应当明确肯定由“日常数学”过渡到“学校数学”的必要性，或是应当唯一地坚持立足于现实生活。

一般地说，学校中的数学学习就是对学生经由日常生活所形成的数学知识进行巩固、适当重组、扩展和组织化的过程，这就意味着由孤立的数学事实过渡到了系统的知识结构，以及对于人类文化的必要继承。这正如著名数学教育家斯根普所指出的：“儿童来到学校虽然还未接受正式教导，但所具备的数学知识却比预料的多……他们所需要的帮助是从（学校教学）活动中组织和巩固他们的非正规知识，同时需扩展他们这种知识，使其与我们社会文化部分中的高度紧密的知识体系相结合。”

当然，我们还应明确肯定数学知识向现实生活“复归”的重要性。这正如著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔所指出的：“数学的力量源于它的普遍性。人们可以用同样的数去对各种不同的集合进行计数，也可以用同样的数去对各种不同的量进行度量。……尽管运算所涉及的方面十分丰富，但又始终是同一个运算。但是，为了真正理解这种存在于多样性之中的简单性，在计算的同时我们又必须能够由算法的简单性回到多样化的现实。”

总的来说，这就应当被看成“数学化”这一思维方式的完整表述，即其不仅直接涉及如何由现实原型抽象出相应的数学概念或问题，而且也包括了对于数量关系的纯数学研究，以及由数学知识向现实生活的“复归”。另外，相对于具体知识内容的学习而言，我们应当更加注意如何帮助学生很好地去掌握“数学化”的思想。这正如弗赖登塔尔所指出的：“数学化……是一条保证实现数学整体结构的广阔途径……情境和模型，问题与求解这些活动作为必不可少的局部手段是重要的，但它们都应该服从于总的方法。”

二、算术思维的基本形式—凝聚

由以下关于算术思维基本形式的分析可以看出，思维的分析相对于具体知识内容的教学而言并非某种外加的成分，而是有着重要的指导意义。

具体地说，这正是现代关于数学思维研究的一项重要成果，即指明了所谓的“凝聚”，也即由“过程”向“对象”的转化构成了算术以及代数思维的基本形式，这也就是说，在数学特别是算术和代数中有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成了一个对象──对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算。

例如，加减法在最初都是作为一种过程得到引进的，即代表了这样的“输入—输出”过程：由两个加数（被减数与减数）我们就可求得相应的和（差）;然而，随着学习的深入，这些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，我们可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，就已经历了一个“凝聚”的过程，即由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。再如，有很多教师认为，分数应当定义为“两个整数相除的值”而不是“两个整数的比”，这事实上也可被看成包括了由过程向对象的转变，这就是说，就分数的掌握而言我们不应停留于整数的除法这样一种运算，而应将其直接看成一种数，我们可以此为对象去实施加减乘除等运算。

综上可见，在算术的教学中我们应自觉地应用和体现“凝聚”这样一种思维方式。