切比雪夫和切比雪夫多项式的故事

蒋迅 王淑红

切比雪夫是俄国现代数学的开创者之一，他是优秀的纯粹数学家，也是名副其实的应用数学家。他创建的彼得堡学派具有鲜明的理论联系实际的特色。著名的切比雪夫多项式就是从连杆设计中升华出来的理论精华。

19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派——彼得堡学派。

一个富末代的童年

切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。父亲列夫·切比雪夫（Lev Pavlovich Chebyshev）是沙皇时代的一名军官。列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。

19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。

1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。他的父母继续让他在家里接受教育，所不同的是，给他聘请了当时莫斯科最好的家庭老师波戈列利斯基（P.N.Pogorelski）。这位老师文理兼修，写作、数学和物理都很棒，写过几本畅销的初等数学教科书，他为小切比雪夫打下了坚实的数学和人文基础。

不畏家道中落，毕生追求数学

1837年，切比雪夫进人了著名的莫斯科大学。受波戈列利斯基的影响，他选择了哲学系下属的数学物理专业。莫斯科大学崇尚自由交流的文化氛围，对于没有上过正式学校的切比雪夫来说，一切都是新鲜的。教育家梅贻琦（1889—1962）曾说过：“所谓大学非所谓大楼之谓也，有大师之谓也。”莫斯科大学就是一个藏龙卧虎的地方。其中，对切比雪夫影响最大的当属应用数学家布拉什曼（Nikolai Brashman，1796—1866）。

1841年，切比雪夫大学毕业，但此时父母的经济状况急转直下，已无力再支持他的生活等各项费用。对于一个有坚定信念、独立思想而又坚韧不拔、懂得吃苦耐劳的人来说，这些困难就是为成长所经受的历练。他凭着对数学的热爱，毅然决定留在莫斯科继续研读数学，同时负担起自己的费用和两个弟弟的部分教育费用。

切比雪夫用6个月通过了资格考试，在布拉什曼的指导下攻读硕士学位，1846年通过了硕士论文答辩。在当时的俄国，要想在大学里找到教职，论文通常是雷打不动的敲门砖。他1843年的论文实际上就是为在莫斯科找到一个教职而作，但当时俄国的情况并不乐观，直到1847年，他才获得了圣彼得堡大学的一个特许任教资格位置，从此开始了在大学执教生涯。他热心教授学生，注重科学研究，加强与国际数学界的交流，一手创建了彼得堡学派，其成员和成果对俄国的近现代数学产生了巨大影响。这个学派与而后的莫斯科学派侧重于理论数学不同，其鲜明特色是侧重理论联系实际。

从工业设计升华出一流数学成果

毫无疑问，切比雪夫是最优秀的纯粹数学家之一，实际上他也是名副其实的应用数学家。他具有在看似平凡的东西里发现数学之美的天赋，并能把它融汇到远超数学本身最初应用的理论之中。他认为：“科学在实践中找到可靠的指南。”著名的切比雪夫多项式就是从连杆设计中升华出来的理论精华。

1856年，切比雪夫在一次演讲中解释了他是如何看到纯粹数学与应用数学之间的关系的。他说：“理论和实践日益相互靠近的观点带来了最有益的结果，绝非只是实践一方所取得；在此影响下，科学正在进步，因为这种靠近会衍生出新的研究对象或者使早已熟知的学科产生新的内容。尽管在过去3个世纪以来，由于伟大数学家们的工作，数学取得了长足的进展，但实践清楚地揭示了其在许多方面并不完备；这就为科学提出了具有本质意义的新课题，让人们去挑战，寻找新的方法。而且，如果在新的应用出现或者旧的方法得到发展之时能够取得很多理论成果，那么当有新的方法诞生时这些理论成果就会更加丰硕；这里，科学在实践中找到了一个可靠指南。”

事实上，切比雪夫对理论力学和逼近论研究的新动力源于他1852年的一次欧洲访问。他发现逼近论可以应用于力学理论和计算数学中。那次访问使他有机会考察数学在风车、水轮机、铁路、炼铁厂、蒸汽机等机械上的应用。切比雪夫最为关注的是力学理论中的连杆机构。这种装置用于蒸汽机和其他机器中，能够把一种运动转变成另一种运动。当时，这方面有一个著名的例子，瓦特（James Watt，1736—1819）把引擎中的摇臂梁的旋转运动转变成了活塞杆的直线运动。

很多人误以为瓦特是蒸汽机的发明者，其实他是改进了蒸汽机的效率，使它可以更为广泛地应用，最终导致了英国和全世界的工业革命。但是瓦特的设计不是完美无缺的。问题在于，其中的指定点并不是真正如期望地在一条直线上运动，而是走的一条曲线。其结果就是在实际应用中出现密封不严和摩擦阻力。好在瓦特的误差不是很大，这个设计足可以用于蒸汽机上。

切比雪夫要做的是找到一种数学方法，使得人们可以系统地设计连杆机构，以产生人们所预期的运动方式，而且具有极高的准确性。切比雪夫总结出的一套方法就是现在我们说的多项式函数的最佳一致逼近。他是第一位看到这个领域的理论和应用之可能性的人。切比雪夫在一开始定下的目标是设计出一种连杆，使得有一个点走的完全是一条直线；即使这个目标达不到，也至少要比瓦特的设计精确度更高一些。他最终没能做出一个完全走直线的连杆机构，但是在1850年，他确实设计出了一个误差不到瓦特连杆的一半的切比雪夫连杆。不同于瓦特的是，切比雪夫让其中两个杆相交。切比雪夫的设计最后都没有真正用在蒸汽机上，不过他已经不在乎这些了，因为他已通过这个实践发现了数学理论上的新大陆。当然切比雪夫也不是只考虑直线问题。他后来写过很多关于连杆及其性质的论文，还设计出许多非常精巧的连杆装置。

1852年的出访，促使切比雪夫写了一系列应用数学方面的论文。其中1854年发表的《论平行四边形的机械原理》，是他在函数逼近论方面的第一篇论文。他在这篇论文中把改进连杆与机械力学联系起来，构造出一个多项式来逼近函数，这就是后来人们所称的“切比雪夫多项式”。他还用这个新方法得到了两个与瓦特连杆有关的结果，但他没有给出计算的细节。他在论文末尾说，他的解释在“下一节”里，而实际上根本没有这样一节。后来，他又说他没有时间完成这篇论文。人们猜测，切比雪夫可能认为这样的具体例子没有发表的价值。然而，以他这篇论文为基础发展起来的理论问题产生了远比连杆装置的设计更具深远意义的应用。

连杆装置是周期运动，当然我们最自然的想法是用三角函数来做近似计算。但是切比雪夫考虑的要更远一些，更一般些。他要把自己的方法用于有限线段上的非周期函数的近似计算。对于这种情形，更自然的选择是泰勒级数展开。无论是周期函数的三角函数逼近，还是非周期函数的泰勒级数逼近，都在18世纪就有了研究。切比雪夫在上大学时就已对级数展开了较深入的研究，现在他要把自己对机械的兴趣与他的数学背景联系起来。我们根据有关文献大致了解一些来龙去脉。

在观察活塞杆的运动中，切比雪夫必须要考虑活塞杆运动离开一条直线的最大误差，并使这个误差达到极小。假定活塞杆的运动是在x=-1和x=1之间，这个误差用曲线y=f（x）来表示，那么他要做的就是让这个误差函数在[-1，1]区间上的最大值‖f‖达到极小。为了做到这点，他首先把函数，用它的泰勒级数在0点附近逼近，也就是说，用一个n次多项式来代替原来的函数f，不妨记这个多项式也是f（x），其系数都是实数，且都与连杆的设计（比如长短和相对位置）有关。

假定切比雪夫可以通过改变连杆设计来让这些系数达到他想要的几乎任何数值，当然这些系数不能过于任意，比如说所有系数都是0的情况太平凡了，零常数函数没有任何实际意义。于是他假定不是所有的系数都为0，而且最高项系数不是0（以确保这是n次多项式）。那么，最佳逼近多项式是什么呢？这正是切比雪夫在他1854年论文中考虑的问题。在试验了一次和二次多项式后，可以发现，最佳逼近多项式函数具有这样的明显特征：它们的零点个数都是n，最大值和最小值交错出现，并且它们的绝对值是相等的。切比雪夫思路的精彩之处在于，他发现，为使‖f‖达到极小，他必须选择这样的n次多项式函数f，使|f|正好取n+1次极大值，而且函数f本身交替地变换符号。切比雪夫没有证明这个事实，也没有说他是怎么知道这个事实的。有人认为他是从彭赛列（Jean-Victor Poncelet）那里知道的。无论如何，现在他的问题变成了寻找上面描述的多项式。

在构造这个函数之前，我们先声明，这样构造出来的多项式确实是最小的。这一点可以严格地用数学推导来证明。这样的多项式函数并不是显而易见能找到的，需借助另外的思路，先找到具有交错达到极值的一组函数，然后设法通过某种变化来得到需要的多项式。前面说过，切比雪夫连杆做周期运动，应该与三角函数有关联。

注意到余弦函数的类似性质，切比雪夫引入了函数T_n（x）=cos（n（cos^-1x）），可以证明这就是他要寻找的n次多项式函数。人们把Tⁿ（x）称为切比雪夫多项式，或“第一类切比雪夫多项式”，因为后来又发展了一组相关的第二类切比雪夫多项式。符号T的采用是因为他的法文名Tchebychev和德文名Tschebyschev都是以T开头的。不过他本人并没有直接用自己的名字来命名。现在的名字是后来伯恩斯坦（SergeiNatanovich Bernstein，1880—1968）最早采用的。切比雪夫用构造的方法找到了他要寻找的函数。其实，他构造出的多项式函数是唯一满足要求的多项式（除了至多相差一个倍数）。

切比雪夫显然对自己构造出来的这一组多项式颇为满意。他没有再继续追求完美无瑕的连杆，而是开始用这组多项式来解决更多的数学问题。

那是不是说切比雪夫就不再研究连杆装置了呢？不是的。他不但一生坚持了这方面的研究，而且给自己的机械发明写过许多文章。因为他天生残疾，他还为行走不方便的人设计了一台走路机。他也设计过划艇和机械计算器。1893年，切比雪夫的7个机械发明在芝加哥国际博览会上展出。

贡献卓著，名垂史册

切比雪夫终生研究数学，他从一开始就瞄准了俄国数学家们共同关心的问题。在数学中以他姓氏命名的名词之多令人咋舌，比如切比雪夫三次根、切比雪夫距离、切比雪夫滤波器、切比雪夫函数等，足有几十个。切比雪夫还通过讲学、访问以及发表文章等形式，迅速将这些成果扩散和传播，在整个欧洲产生了重要影响。

切比雪夫一生中获得过多项殊荣。他在圣彼得堡大学任教35载，作为土生土长的俄罗斯学者，深受学生喜爱，培养了大批出色的学生，并且以他自己的卓越才能和独特魅力吸引了一批年轻的俄国数学家围绕在他周围，形成了彼得堡学派，使俄罗斯数学迅速崛起。据统计，到2010年为止，他的学生和学生的学生……共达7483人。要知道在19世纪前，俄国科学院的数学院士都是高薪聘请来的外国数学家，而打破这一格局的便是切比雪夫和罗巴切夫斯基（Nikolai Lobaehevski，1792—1856），他们使俄国数学界重新洗牌。俄国人把切比雪夫誉为最伟大的分析学家，把他看作俄国科学的骄傲。在西方更有人把他称为俄国数学之父。

切比雪夫开发出的逼近论在中国也有很大影响，著名逼近论专家孙永生教授所研究的有限区间上的宽度理论就是基于这套理论。多项式函数交错变号的思想在构造极值多项式和宽度理论计算中发挥重要作用。

切比雪夫终生未婚，晚年自己住在一个有10间屋子的大房子里。他特别喜欢投资房地产，把大部分钱用在了这上面，去世时已拥有好多房子。不过他经常从经济上支援一个他从未正式承认的女儿，有时也会与女儿见面，特别是女儿嫁给了一个上校之后。1894年12月8日，他坐在圣彼得堡家中的写字台前，突感不适，在经历了一阵痛苦之后，因心脏病突发去世，终年73岁。此后，他的论文集、全集和选集先后出版，原苏联科学院还专门设立了切比雪夫奖学金。

综观切比雪夫的一生，有很多方面值得我们学习和敬仰。他虽然身体有先天疾患，但身残志不残，一直有一个阳光进取的心态。他出身贵族、家道中落，却没有因此而沮丧和彷徨，反而愈发自立和自强。他一路受到母亲、表姐、波戈列利斯基、布拉什曼等良师指教，也薪火相承，通过自己的言传身教将其发扬光大，创建彼得堡学派。他不但学数学、爱数学、教数学，而且做数学，将理论与实践相结合，取得震惊世界的学术成果。要知道，这并不是任何数学家都能做到的，因为正如数学家王元先生所言，交叉学科不简单，需要最好的数学家去做。无疑，切比雪夫属于最好的数学家之一，他的贡献已载入史册，他的影响也必将永存。