微积分中导数概念教学设计浅析

摘 要：大众化教育背景下，大学微积分教学中面临的问题日益突出。学生会进行导数求解，对导数概念中蕴含的思想并不了解。在导数概念的教学设计中突出概念教学的重要性，从历史上的问题引入导数概念，注重变化率的思想，注重可导和连续的关系讲解，借助几何图形帮助同学理解导数局部直的含义。这样的教学设计能够帮助学生更好的理解导数的概念，提高学生的应用能力。

关键词：概念教学；导数；局部直

一、引言

进入二十一世纪以来，高等教育转入了大众化教育，大学生入学能力普遍降低，学生对数学的兴趣降低，学生越来越多，生源越来越广，层次越来越不均衡，教师在课堂上可以感受到学生的变化。面对基础参差不齐的学生，如何教授基本的数学知识，如何使学生能够掌握数学工具的同时也能培养数学思维？如何能够保证基本的教学质量，又能够满足优秀学生的发展呢？现在进行微积分课程改革已经刻不容缓，其中最主要的仍然是加强微积分的概念教学。

二、概念教学的学习环境

美国科罗拉多州立大学Chappell采用了量化研究和质化研究相结合的方法，研究了基于概念教学或者传统的教育环境对学生概念理解、应用技能、迁移能力等方面的影响。

传统教育环境认为技巧发展比概念发展重要，课堂上总会在最开始大概会花10%的时间回顾一些相关的基础概念和常用技巧，教师先对定义和公式进行介绍，然后再在课堂上演示例子，这些例题讲解的时间大概要花掉将近90%的时间。传统教育方法注重代数方法解决问题，基本不用其他方法。

在基于概念的学习环境中，概念发展不管是在顺序上还是重要性发面都先于运算技巧。课堂上大部分时间都在帮助学生更好的理解概念，只要少部分的时间用来训练技巧。概念班注重一题多解，要求综合比较数字法，代数方法和图像方法。概念教学中鼓励学生解决问题时用到不同的方法。

研究表明概念性的理解有助于解题技巧的掌握，基于概念的教学方法不仅能保证学生的解题技巧，而且能够加深学生对概念的理解。通过理解掌握的知识比程序性知识更容易推广到陌生的领域。以上说明概念班注重概念教学，强调一题多解，引导学生解释自己的解题方法这些教学方法是行之有效的。

Chappell的模式并不是特别适合中国的情况，针对中国教育特点，高雪芬将概念教学原则修正如下：

总原则：概念发展优先于技能训练。课堂上至少用70%的时间来帮助学生更好的理解概念，剩下的时间用于技巧训练，学生只做基本的例题和练习。

①通过本原性问题（历史上的，直观的，质朴的，本质的）引入教学概念，借助历史发展阐述数学概念。

②借助几何直观或生活中的直观例子帮助同学理解概念。

③注重概念间关系的阐述。

三、导数的概念教学设计

导数概念是微积分中的核心概念，学生在高中时已经学过导数概念。学生熟悉求导公式和法则，对导数的几何意义记忆深刻。高中生对导数的第一反应是切线斜率，其次是利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的极值，文科班的同学更倾向于将导数直接与运算相联系，更加注重导数的计算，对导数的概念局限于切线，不能理解变化率的思想，从而不能将其用于实际问题。导数体现了变化率及局部近似的思想，这一点已经是中外数学家及中外课程标准的共识。导数之美在于体现局部的率，这是一个无穷的过程，可导函数表示的曲线就是局部近似的看作一条直线，这条直线的斜率就是导数。房元霞强调从两个角度来理解导数概念变化率的本质：①导数是瞬时变化率；②以直代曲，进行局部的近似。针对学生对导数概念的误解和导数概念的本质，我们在导数的教学设计中将设计目标定为理解变化率的思想。

1.由變化率引入，从而强调变化率的思想

引例1：上抛物体

上抛运动，物体在速度（位移的变化率）为0的点时到达最高点。

引例2：矩形面积

周长为20米的矩形，考虑长宽取不同值时面积的增量，面积改变率最小时面积取得最大值。

以上两个问题的共性是，因变量与自变量的增量比（即变化率）最小时，函数值取值最值。进而指出历史上研究导数的必要性上：历史从研究极值问题产生研究导数的需要。

引例3：光的反射问题

光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题。光射向平面时，入射角等于反射角，当光射向圆弧时，入射光与反射光与圆弧的切线所成的角相等。那么，当光射向其他曲线，光又如何反射呢？此时就需要解决曲线的切线问题。

以往的教材是以切线和速度引入的，为了回避与高中的重复，在大学导数的教学中详细讲解引例1和引例2，引例3可以略讲。通过引例的讲解，使学生认识到导数概念不是凭空想象出来的，而是来源于实践。这些引例的讲解可以强化变化率的思想，加深学生对导数变化率含义的认识，同时也为导数的应用做好铺垫。

2.重点讲清连续和可导的关系

学生虽然会求导，但是并不知道可导和连续的关系。在教学上如果按照通常教科书上的证明来讲，学生既觉得乏味无趣也觉得很难听懂。在教学中，从历史本原开始，由于研究导数的需要产生了连续问题的研究。人們认为连续必须可导，后来人们发现了处处连续但是不可导的维尔斯特拉斯函数。那么连续和可导的关系是什么呢？从无穷小的比较开始讲，得出连续不一定可导的结论，这样的解释直观本质。接着通过绝对值函数和分形函数从图形上引出局部直的概念。放大图形后发现可导函数在放大后都近似于一条直线，这就是曲部直的思想。而不可导函数无论怎么放大都无法成为直线。由局部直自然的引出导数的几何意义。

四、总结

大学新生看到导数想到的是求导，说明在他们在高中受到的机械训练比较多，而缺乏对概念的深入讲解和对概念间关系的剖析。针对学生的特点，在导数教学中抓住了变化率和局部直两个重点，从历史上的极值问题，光的反射问题引入导数，从历史上研究导数时对连续概念的需求引入讲解可导与连续的关系，结合图形讲解导数中的局部直的含义。这些教学设计能够帮助学生更好的理解导数的概念，取得较好的教学效果。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学本科少学时[M].北京：高等教育出版社，2015

[2]高雪芬.微积分概念教学研究之述评—以Chappell文章为例.教学研究.2012（35）

作者简介：

梅俊华 （1984.8—），女，汉族，籍贯湖北松滋，讲师，硕士研究生，主要研究方向：应用数学，图像处理。

（作者单位：武汉工商学院民族教育学院）