用祖暅原理求平面图形面积

胡娟娟

[摘 要] 为了求“非标准”的平面图形面积，本文借助原理，把“非标准”的平面图形进行空间平移转化为“非标准”的几何体，然后求出该几何体体积，再由体积公式求出该平面图形面积. 通过推广该方法可以用于求由一次函数或二次函数所围成的几何图形的面积.

[关键词] 祖暅原理；非标准几何体；非标准平面图形；面积

用初等方法求几何体体积时，常常借助于祖暅原理，事实上，祖暅原理除了运用于解决不规则几何体的体积，还可以求解平面图形的面积. 《由祖暅原理想到的——求曲边三角形面积的初等方法》一文（裴光亚）利用祖暅原理给出了求曲边三角形面积的初等方法，笔者尝试对曲边三角形进行推广.

祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积都相等， 那么这两个几何体的体积相等.

由于祖暅原理易求“非标准”几何体体积，笔者联想到把“非标准”平面图形通过空间平移转化为“非标准”几何体，通过祖暅定理求出该几何体体积，然后再由体积公式求出该平面图形面积.下面我们看一些具体应用.

例1 求曲线y=2x2与x轴、直线x=2所围图形的面积分析：如图2，将曲边三角形ABC沿垂直于其所在平面的方向平移一个单位，得到几何体ABC-A1B1C1，为求该几何体体积构造如图3所示的正四棱锥S-MNPQ，使得两几何体等高，底可见这种初等方法可以用于求由一次函数或二次函数所围成的几何图形的面积.