粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁动力学行为

2016-05-19孙立新盛冬发

动力学与控制学报 2016年6期

关键词：粘弹性平面图粘性

孙立新盛冬发

（西南林业大学土木工程学院，昆明 650224）

粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁动力学行为

孙立新†盛冬发

（西南林业大学土木工程学院，昆明 650224）

建立了粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁在有限变形情况下的运动微分方程，这是一组非线性偏微分方程.为了便于分析，首先利用Galerkin方法对该方程组进行简化，得到一组非线性常微分方程.然后利用Matlab软件进行数值模拟，考察了载荷参数、地基粘性参数和弹性参数、损伤对梁振动的影响.采用非线性动力学中的各种数值方法，如时程曲线、相平面图、Poincare截面和分叉图，发现增大地基的粘弹性参数，有利于增强结构运动的稳定性，而损伤会降低结构运动的稳定性.

粘弹性地基，损伤， Timoshenko梁，非线性动力学

引言

材料在使用过程中会发生损伤，损伤累积到一定程度会造成材料的失效破坏，对结构的安全和可靠性的研究早已引起国内外力学工作者的普遍重视.Pellicano和Vestroni［1］用Galerkin截断法分析了带有几何非线性项的稳定运动梁在亚临界及超临界速度时的动态特性，发现了超临界速度状态下系统存在稳定区域的现象.Nunziato JW和Cowin S C［2］提出了带孔隙的弹性材料的非线性理论，建立了带孔隙材料的理论框架，后经线性化发展成为可以用于工程计算的线性理论.盛冬发［3］从考虑损伤的粘弹性材料的一种卷积本构关系出发，建立了在有限变形下损伤粘弹性Timoshenko梁的运动微分方程.孟红磊［4］研究了含损伤非线性粘弹性本构模型及数值仿真应用，提出了一种含累积损伤的非线性粘弹性本构方程.李晶晶［5］对有限变形条件下，Timoshenko粘弹性梁非线性分析的数学模型应用微分求积方法进行空域的离散，得到了简支粘弹性梁的简化模型.唐有绮［6］研究了轴向加速粘弹性Timoshenko梁的非线性参数振动，描述了各参数对稳态响应的影响.

本文从损伤线弹性理论出发，建立了粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁的运动微分方程.应用Galerkin方法和非线性动力学数值分析方法，在数值上分析了粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁丰富的动力学行为.分析比较了载荷参数，地基粘性参数和弹性参数，损伤对梁的动力学行为的影响，以及地基粘弹性参数对结构损伤增量的影响.

1 损伤弹性Timoshenko梁运动微分方程

考虑如图1所示的梁，设梁是等截面的，面积为q＝0.2，高为q＝0.1，长为l，密度为ρ.若作用于梁的载荷q（x，t）在xy平面内，则可以认为该梁处于平面弯曲状态.根据Timoshenko梁理论，位移可设为［7］

图1 带损伤弹性Timoshenko梁Fig.1 Elastic Timoshenko beamswith damage

式中φ表示y轴的转角.设梁不受轴力作用，有u（x，t）＝0.根据有限变形理论，由位移可得

2 数学模型简化

采用数值方法来求解非线性偏微分方程组（6），（8），揭示非线性损伤弹性Timoshenko梁的动力学性质.但该非线性积分-偏微分方程组通常难以求解，采用伽辽金方法将问题简化为非线性积分-常微分方程组进行求解.

根据边界条件（9），问题的解可取为如下的形式

3 数值求解和讨论

图2 不同q时系统的时程曲线（β8＝40，β9＝1）Fig.2 Time history curves of the system for different parameter q（β8＝40，β9＝1）

方程组中的系数在附录B中给出.用Rung-Kutta方法对方程进行数值求解，编制专用计算程序，同时取β1＝4，β2＝104，β3＝3.33×105，β4＝5× 103，β5＝5×103，β6＝36.1，β7＝4.17×103，ζ＝5/6，v＝0.3，q0＝q sin（2πt）［3］.图2～4示出了当地基弹性参数β8＝40和地基粘性参数β9＝1时，不同的荷载参数对系统运动特性的影响.

图3 不同q时系统的相平面图（β8＝40，β9＝1）Fig.3 Phase-trajectory diagrams of the system for different parameter q（β8＝40，β9＝1）

图4 不同q时系统的Poincare图（β8＝40，β9＝1）Fig.4 Poincare sections of the system for different parameter q（β8＝40，β9＝1）

图2～图4分别给出了当β9＝1，β8＝40时，对于不同载荷q系统的时程图，相平面图和Poincare截面.可以看出，当载荷参数q增大时，系统由稳定的周期运动向不稳定的混沌运动转化.

图5，图6分别给出了当β9＝1，q＝0.35时，对于不同地基弹性参数β8系统的相平面图和分岔图.由图可见，当地基弹性参数β8增大时，系统由混沌运动向周期运动转化.增加地基的弹性参数，将会抑制系统混沌运动的发生，有利于结构运动的稳定性.

图5 不同β8时系统的相平面图（q＝0.35，β9＝1）Fig.5 Phase-trajectory diagrams of the system for different parameterβ8（q＝0.35，β9＝1）

图6 q＝0.35，β9＝1时，扰度随弹性参数β8变化时的分岔图Fig.6 Bifurcation diagram of deflection with the change of the elastic parameterβ8when q＝0.35，β9＝1

图7给出了当q＝0.2，β8＝10时，对于不同地基粘性参数β9系统的相平面图.由图可知，当地基粘性参数β9增大时，粘弹性地基上的Timoshenko的运动会由混沌运动向周期运动转化.

图8给出了当q＝0.3，β9＝1，β8＝40时，粘弹性地基上损伤Timoshenko梁和无损Timoshenko梁的相平面图.由图可以看出，在运动条件相同情况下，有损Timoshenko梁的动力学行为比无损时稳定性低，说明损伤降低了梁运动的稳定性.

图9（a）给出了当q＝0.2，β8＝10时，地基粘性参数对弹性损伤Timoshenko梁的最大损伤增量的影响，从图中可以看出虽然损伤增量有所波动，但变化较小，故地基的粘性参数对结够损伤增量的影响不是太大.图（b）给出了当q＝0.2，β9＝1时，地基弹性参数对弹性损伤Timoshenko梁的最大损伤增量的影响，可以看出随着地基弹性参数的增大，结构的损伤增量有下降的趋势.增加地基弹性参数，有利于减少结构在使用过程中的损伤.

图7 不同β9时系统的相平面图（q＝0.2，β8＝10）Fig.7 Phase-trajectory diagrams of the system for different parameterβ9（q＝0.2，β8＝10）

图8 q＝0.3时系统的相平面图（β8＝40，β9＝1）Fig.8 Phase-trajectory diagrams of the system when q＝0.3（β8＝40，β9＝1）

图9 地基粘弹性参数对结构损伤增量的影响Fig.9 Influence of the viscoelastic parameters of foundation on the damage increment of the structure

4 结论

建立了粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁在有限变形情况下的控制方程，通过Galerkin方法得到了简支梁的运动方程.采用非线性动力学中的各种数值方法，计算得到各种响应图形，如时程曲线、相图和Poincare截面和分叉图.揭示了粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁的丰富动力学行为.经过分析和计算，可以得到如下的主要结论：

（1）载荷参数对Timoshenko梁动力响应有较大影响.载荷越大，系统越不稳定，使系统由稳定的周期运动向不稳定的混沌运动转化.

（2）地基参数对结构动力响应也有较大的影响，可以看出增大地基的粘性参数和弹性参数有利于增强结构的稳定性.

（3）损伤会降低粘弹性地基上弹性Timoshenko梁运动的稳定性.

（4）增加地基弹性参数，有利于降低结构使用过程中的损伤.

1 Pellicano F，Vestroni F.Nonlinear dynamics and bifurcations of an axially moving beam.Journal of Vibration A-coustics，2000，122：21～30

2 Nunziato JW，Cowin SC.A Nonlinear Theory of Elastic Materials with Voids.Archive for Rational Mechanics and Analysis，1979，72：175～201

3 盛冬发.几何非线性损伤的损伤粘弹性Timoshenko梁的动力学行为.动力学与控制学报，2004，2（4）：77～83（Sheng D F.Dynamical behaviors of nonlinear viscoelastic Timoshenko beamswith damage.Journal of Dynamics and Control，2004，2（4）：77～83（in Chinese））

4 孟红磊，鞠玉涛.含损伤非线性粘弹性本构模型及数值仿真应用.固体火箭技术，2012，35（6）：764～768（Meng H L，Ju Y T.Nonlinear viscoelastic equation with cumulative damage and its application on numerical simulation.Journal of Solid Rocket Technology，2012，35（6）：764～768（in Chinese））

5 李晶晶，程昌钧.粘弹性Timoshenko梁非线性动力学行为的微分求积分析.振动与冲击，2010，29（4）：143～147（Li J J，Hu Y J，Cheng C J，Zheng J.Differential quadraturemethod for nonlinear dynamical behavior of viscoelastic timoshenko beam.Journal of Vibration and Shock，2010，29（4）：143～147（in Chinese））

6 唐有绮.轴向变速黏弹性Timoshenko梁的非线性振动.力学学报，2013，45（6）：132～136（Tang Y Q.Nonlinear vibrations of axially accelerating viscoelastic timoshenko beams.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2013，45（6）：132～136（in Chinese））

7 Timoshenko S，Gere J.Mechanics of Materials.New York：Van Nostrand Reinhold Company，1972

8 Cowin S C，Nunziato JW.Linear elastic materials with voids.Journal of Elasticity，1983（13）：125～147

9 张燕，盛冬发，程昌钧.在有限变形条件下损伤粘弹性梁的动力学行为.力学季刊，2004，25（2）：232～238（Zhang Y，Sheng D F，Cheng C J.Dynamicalbehaviors of visco-elastic beamswith damage under finite deformation. Chinese Quarterly of Mechanics，2004，25（2）：232～238

10李根国，朱正佑.具有分数导数本构关系的非线性粘弹性Timoshenko梁动力学行为分析.非线性动力学学报，2001，8（1）：19～26（Li G G，Zhu Z Y.Dynamical behaviors of nonlinear viscoelastic Timoshenko beam with fractional derivative constitutive relation.Journal Nonlinear Dynamics in Science and Technology，2001，8（1）：19～26（in Chinese））

11 Sheng D F，Cheng C J.Dynamical behaviors of nonlinear viscoelastic thick plateswith damage.International Journal of Solids and Structures，2004，41：7287～7308

附录A

附录B

DYNAM ICAL BEHAVIORSOF ELASTIC TIMOSHENKO BEAMS W ITH DAMAGE ON VISCOELASTIC FOUNDATION

Sun Lixin†Sheng Dongfa
（Civil Engineering Institute，Southwest Forestry University，Kunming 650224，China）

The differential equations of motion governing nonlinear dynamical behavior of elastic Timoshenko beams with damage on viscoelastic foundation are given in this paper.It is known that the derived equations are a set of nonlinear partial-differential equations.To this end，the Galerkinmethod is firstly applied to simplify this set of equations，and a set of ordinary-differential equations are obtained.The Matlab software is then used to simulate the dynamical behaviors of the elastic Timoshenko beams.Meanwhile，the influence of the load and the viscoelastic parameters of foundation and the damage on the dynamic behaviors of beams is also studied.Various numericalmethods of nonlinear dynamics are used including time history curves，phase-trajectory diagram，Poincare sections and bifurcation figures.It is found that The stability ofmovement of the structure is strengthened when the viscoelastic parameters of foundation are increased，but the damage of the Timoshenko beams reduces the stability ofmovement of the structure.

viscoelastic foundation， damage， Timoshenko beams， nonlinear dynamics