四轮汽车运动性能的分析

杨巩，刘守银，王晓军

（安徽江淮汽车股份有限公司技术中心，安徽 合肥 230022）

四轮汽车运动性能的分析

杨巩，刘守银，王晓军

（安徽江淮汽车股份有限公司技术中心，安徽 合肥 230022）

通过将四轮汽车的运动简化为刚体的平面运动，并将四轮汽车等价成二轮车模型，根据牛顿的运动学原理建立二个基本运动方程。在适当条件下通过对这两运动方程式求解，可以得到车辆对于转向角的响应。如果运动系是线性的，即使不直接求出运动方程的解，或者在运动方程求解过程中，通过计算、作图等方法对特性方程的根进行仔细研究，捕捉到力学系的瞬态响应和运动性能。这些结果对整车设计和分析具有很高的参考价值。

四轮汽车；二轮车模型；运动性能；转向角；响应

CLC NO.:U467.11 Document Code: A Article ID: 1671-7988 (2016)07-124-04

引言

严格地来说，一辆四轮汽车有上下、前后、左右、侧倾、俯仰和横摆6个自由度的运动，如果要把汽车的运动用严密的数学来表示，那这个数学公式将极其复杂。对转向的基本运动特性进行分析时，一般将汽车看成一个刚体、忽略上下运动、行驶速度不变、左右轮胎特性相同，这样，将一辆四轮汽车的运动简化成横向并行运动（左右）和车体的旋转运动（横摆）2这个自由度，用表示这两个自由度的数学公式来进行分析，就简单了，下面就基于这两个自由度的运动方程式，对四轮汽车的运动性能进行分析。

1、基本运动方程

如果把四轮汽车的运动简化成刚体的平面运动，

那么这个运动必须满足牛顿运动定律，可用以下两个方程式来表示：

(1) 质量×横向加速度=横向外力；

(2) 转动惯性×角加速度=围绕重心由外力产生的力矩。

如果把左右轮胎合在一起，并放在汽车中心面，四轮汽车等价为图1所示的模型，上面两个方程式就可改写成：

其中，I：横摆转动惯量；υ：横向速度；：横向速度微分值；u：速度V在x向的分值；ω：横摆角速度；Ff：前轮产生的侧偏力；Fr：后轮产生的侧偏力。

车辆在横摆角β较小范围内运动，下列公式成立：

因为假定速度不变，所以对公式（3）进行微分可得出：

利用上述公式，可将公式（1）改成：

公式（1）与公式(5)没有本质性差别，而公式（5）中使用β这个参数更好，能直感理解汽车的平面运动。公式（2）和公式（5）是简化为刚体的平面运动的汽车模型的基本运动方程式。

侧偏角小时，由轮胎产生的侧偏力（也叫转弯力）可看成与轮胎侧偏角成比例地变化，此假定在车体的横向加速度小于0.5G时是基本成立的。由于前后各有两个轮胎，如果前后轮胎的侧偏角分别为βf和βr，那么，前后轮的侧偏力分别为：

公式中由于相对+β产生-F的力，所以在前面加上负号，其中Kf和Kr分别为前后轮胎的侧偏刚度，如图1所示，Kf和Kr可用下列公式表示：

为了从公式（7）可知，前轮横摆角βf公式中包含转向角δ，它是运动方程的输入参数。

将公式（6）、（7）代入公式（2）、（5）中，可得下列两个线性联立常微分方程：

用这两个方程便于分析四轮汽车的运动，能简捷地说明其运动性能。

2、稳态回转特性

下面就通过分析用方程式（8）、（9）表示的运动系统的性能，来了解四轮汽车的运动性能。

稳态回转车辆的重心的横摆角没有变化，横摆角速度也不变，将微分方程（8）、（9）中的微分项设定为零，得到两个代数方程式，这两个方程式有β和ω两个未知数，求解得：

δ=0时，表示β=ω=0的直线行驶状态。如果改变转角，保持β和ω的值不变，这样运动是以一定速度和一定转角的圆周运动，通常称之为稳态回转。如果回转半径为R，那么R=V/ω，从公式（11）可得：

当四轮汽车以一定转角进行圆周运动时，如果A>0，随着速度的增加，半径增大；如果A<0与之相反，随着速度的增大，半径减小。从公式（12）可知，A的正负取决于?的正负，也就是说，对于转角一定的圆周旋转运动，随着速度增加而变化的A值的大小取决于?的值大小，因此，将A称之为稳定系数，这个值为正的车辆（也就是

?）为不足转向(US)，负的车辆（也就是?）为过转向(OS)，为零的车辆为中性转向(NS)。速度非常慢，也就是?时，公式(10)、(11)、(13)可写成：

这个状态叫做极低速回转，各个轮胎在完全无侧偏角（因此，也不产生侧偏力）状态下旋转。

横轴表示速度的2次方，纵轴表示极低速时回转半径R0与以速度V行驶时回转半径R之比，图2所示，这些直线的斜率就表示（车辆回转运动的）稳定系数。

图2 速度和回转半径比的关系

对于过度转向的车辆，随着速度的增加，回转半径减少，速度Vc时回转半径理论上为零，这个速度Vc叫临界速度，可由求得。

图3 稳态回转状态的速度和侧偏角

从公式(10)可以算出稳态回转状态的速度和侧偏角对应数值，并作出曲线图，如图3所示。

同样，从公式（11）可以算出稳态回转状态的速度和横摆角速度对应数值，并作出曲线图，如图4所示。从图3和图4可知，过转向车辆以某一有限速度行驶时，横摆角速度和侧偏角同时发散，不能稳态回转，这个速度是公式（17）的临界速度；中性转向车辆随速度增加横摆角速度线性增加，横摆角减小；不足转向车辆的横摆角速度在某个有限速度时达到最大值，更大速度时缓慢减小，另外，由于不足转向车辆的，从公式（10）来看，随着速度的增加，当时，侧偏角收缩到如公式（18）所得负的一定值。

如果得到横摆角速度的值，根据公式（11）就可算出侧向加速度ay：

用上式进行计算侧向加速度时，速度很大时，侧向加速度会超过1g，然而，车辆的运动是轮胎和地面的摩擦力产生，轮胎和地面的摩擦系数为μ，实际上车辆的侧向加速度不会超过μg。由轮胎产生的侧偏力是按照公式（6）这个数学模型计算而来的，其中不管侧偏角增加多少，侧偏力都随着侧偏角成比例增加的，所以造成计算时侧向加速度超过1g。

3、稳定性和瞬态响应特性

3.1 瞬态响应和方向稳定性

在第2节已分析，过度转向车辆的横摆角速度和侧偏角在临界速度时发散，不能进行稳态旋转。在此，从系统安全性方面对这一点进行分析。

系统的动态稳定性可从其系统的特性根进行分析。分别用β(s)、ω(s)、δ(s)表示β、ω、δ，对公式（8）、（9）进行拉普拉斯变换，展开、整理后可得到下列对时间s的二次特性方程式。

负，如公式（23）所示。由公式（23）所得到V0和公式（17）得到临界速度Vc相等，也就是说，过转向车辆超过临界速度不能稳态回转，也可以理解为是车辆动态不稳定的原因。

因为车辆具有不足转向或中性转向特性，以什么速度行驶都稳定，所以也正是这个理由，市场上卖的车的转向特性都设计成不足转向。

3.2 固有振动频率和阻尼比

方程式（19）是单自由度一般强迫振动微分方程，把它与下列一般2次特性方程式：

进行比较，可求出车辆的阻尼比ξ和横摆角速度波动时的固有振动频率。2次系统的瞬态响应的收敛性一般是通过阻尼比和固有振动频率的积来估算，这个值越大，整体响应的起步和收敛都比较好，具体计算如下：

• 增大轮胎的侧偏刚度；

• 减小质量；

• 减小横摆转动惯量。

4、频率响应特性

下面分析对于周期性转向的稳态响应，这个响应被称之为频率响应。

现在来考虑以公式（26）正弦波状输入转向角时的情况。

如果系统是线性的话，其稳态输出x一定以公式（27）来表示，也就是说，对于正弦波输入的稳态输出：

• 输出的频率与输入相同，都是ω；

• 振幅由a变成b；

• 只是相位相差φ。

因此，从对输入频率的振幅比b/a和相位差的分析入手，可把握对周期性输入的车辆特性。

这个频率响应特性可用图来表示，如图5所示，这个图就是相对方向盘转向角横摆角速度的频率响应。这个图可根据基本运动方程式（8）、（9）和转向器传动比通过计算求得，也可通过整车试验数据来求得。在分析汽车的操纵稳定性时，一般多看这样的横摆角速度频率响应，而横摆角速度频率响应随速度变化而变化，所以一般多看速度100km/h时的响应。

图5 相对转向角横摆角速度频率响应

图5的上图为相对输入频率的振幅比（多称之为增益），下图是相对频率的相位差。振幅比一般以分贝（db）（x [db]=20）表示，根据0 [db]=20，0分贝对应的振幅比x为1，表示输入和输出的振幅相等；振幅比x为负，表示输出的振幅比输入的振幅小；振幅比x为正，表示输出的振幅比输入的振幅大。另外，相位差为负，表示输出滞后于输入。

下面就图5说明几个关注点。

首先，关注的是增益图的1点（图5的上图），该点是极低频率的增益值，表示极低频率时一定转角的横摆角速度的增益是一个稳定值，在图5中，这个值约为-10[db]，从-10[db]=20可知，横摆角速度为0.32，也就是，这个车辆方向盘转10°时，稳态横摆角速度为3.2°/s。对于公式（11），这个值与考虑转向器传动比的影响的稳态回转的横摆角速度对应。

关注点2是增益的峰值的高度。对于特性方程式（8）、（9）表示的汽车模型，阻尼比变小，这个值就变大，因此，峰值的高低成为表示横摆角响应的衰减程度的标尺，希望车辆有良好衰减特性，这个峰值不大最好，乘用车通常这个值为2~4[db]。

关注点3是增益在峰值时的频率。因为这个峰值的频率（多称之为共振频率）几乎与固有频率一致，所以峰值频率越大，速应性就好。对驾驶员来说，感觉方向盘反应比较快。对乘用车来说，通常在1~1.3[Hz]的范围内，而对赛车来说，这个值比较大。

关注点4是相位延迟。相位延迟越大，相对方向盘转向角的输入，横摆角速度就滞后。因此，对于很快的转向，为了不使横摆角速度过慢，相位延迟最好小一点，一般与频率1[Hz]的相位延迟进行横摆响应特性比较，一般乘用车在1 [Hz]时相位延迟的取值范围为20~40°。

5、结论

通过将四轮汽车简化为刚体的平面运动的汽车模型，再等价成二轮车模型，根据牛顿的运动学原理建立二个基本运动方程。

从系统安全性方面进一步分析过转向不能进行稳态回转的原因，并指出正是过转向的不稳定，所有车的转向特性必须设计成不足转向。同时分析了瞬态响应特性与行驶速度、振动频率和阻尼乘积的关系，强调车辆操稳设计时必须关注操稳因素，增大轮胎的侧偏刚度，减小车辆的质量和横摆转动惯量。

通过输入一个正弦函数转向角，对横摆角速度的频率响应特性的分析，并把这个响应用图表示出来，充分说明频率与振幅比（增益）、相位差的关系和特性，并详细分析了图中四个关注点对车辆的运动性能影响，并说明设计时取值范围。

通过计算、作图等方法对运动方程的根进行仔细研究，捕捉到运动系的瞬态响应和运动性能等关键特性，对整车设计和分析具有很高的参考价值。

[1] 自動車の運動と制御(第二版)安部正人東京電機大学出版局，2012.1.20.

[2] 社団法人自動車技術会.自動車技術ハンドブック(第一分冊)基礎・理論編 精興社.2011.5.10改訂版第3刷発行.

[3] 清华大学余志生. 汽车理论. 机械工业出版社(第四版),2004.4.

[4] 自動車用タイヤの基礎と実際 株式会社ブリヂストン 東京電機大学出版局,2009.11.20.

[5] 車両運動性能とシャシーメカニズム 宇野高明 グアンプリ出版,2011.3.10第12刷発行.

An analytical study of motion performanceabout four-wheelautomobile

Yang Gong, Liu Shouyin, Wang Xiaojun
( TheCenter of Technology of Jianghuai Automobile Co. Ltd., Anhui Heifei 230022 )

The paper establishes two fundamental motion equations under the kinematic principle of Newton by simplifying motion of the four-wheel automobile into plane motion of rigid-body and transforming the four-wheel into two-wheel model. Then the response of automobile to steering angle can be obtained by solving the two motion equations under appropriate conditions. If the motion system of the analyzed object is linear,whetherthe motion equations are not solved directlyorat course of solving motion equations, the transient response of the mechanical system andmotion performance can also be captured by studying the characteristic equation root with calculation, graphic representation and other approaches, which will be of great reference values to the whole-vehicle design and analysis.

Four-wheel Automobile; Two-wheel AutomobileModel; Motion Performance; Steering Angle; Response

U 467.11

A

1671-7988(2016)07-124-04

杨巩，就职于安徽江淮汽车股份有限公司。

10.16638/j.cnki.1671-7988.2016.07.039