数学软件辅助高等数学教学的应用探索

刘 尚,周富照,黄创霞,吴志虎

(1.长沙理工大学 数学与计算科学学院,长沙 410114; 2.中南大学 信息科学与工程学院,长沙 410083)



数学软件辅助高等数学教学的应用探索

刘 尚1,周富照1,黄创霞1,吴志虎2

(1.长沙理工大学 数学与计算科学学院,长沙 410114; 2.中南大学 信息科学与工程学院,长沙 410083)

摘 要:根据目前高等数学教学现状,在教学中充分利用现代信息化教育技术,将高等数学的主要教学内容分成几个模块,合理适当地利用数学软件辅助高等数学教学,借助数学软件强大的图像功能、计算功能以及分析功能改善现代课堂的教学模式.加强学生在课堂教学中的参与性,激发学生学习兴趣,提高学习效果.进一步提高学生的数学建模能力,培养学生的实践应用能力和创新能力.

关键词:高等数学; 数学软件; 教学效果; 创新能力

1　高等数学教学现状分析

高等数学是高等院校大多数专业必修的一门重要基础课,由于其逻辑性强,具有较高的抽象性,内容多而授课学时相对较少,一直以来都被公认为是教师难教,学生难学的一门课程.高等数学知识掌握的好坏,直接影响学生后继各理工科专业课程的学习,这是因为高等数学所授内容是理工科各专业学习研究中最基础的数学知识.然而在高等数学的教学中,与高等数学重要性相对的却是学生学习积极性不高,兴趣缺乏,教学质量不高,甚至一部分基础较差的学生由于无法接受所学知识,对数学学习完全失去了信心,干脆不学,使得考试及格率不高.

通过对学生的调研,我们发现在高等数学学习中主要存在以下几个方面的问题: 第一,内容多,速度快.由于学时的限制,要在有限的时间内,学完如此多的知识,没有预留学生思考的时间,必然导致理解困难,跟不上进度,学习兴趣不高; 第二,教学内容枯燥,抽象性强,理解困难; 第三,数学知识的运用不清晰.学生只感觉学到一些概念公式、定理以及做了大量的习题,对于为什么学习数学,怎么运用数学解决实际问题却不是很清楚; 第四,教学手段单一.针对上述问题,如何改变这种教学现状,提高学生学习的积极性,提高课堂教学效果和教学质量,这些都是国内外数学教育工作者一直在积极探讨和解决的问题[1～3].

我们提出将数学软件与高等数学教学内容有机结合,充分利用学校建立的数学建模与创新教育基地,对理工科学生进行数学软件在高等数学教学中的应用探索.一方面,在高等数学教学内容中把数学建模最基本的内容和方法融入其中.在教学手段上以Matlab,Mathematica等数学软件为工具,在课堂上进行演示性数学实验教学.对高等数学的重点内容如: 函数导数、函数积分、函数极值等数值计算问题,编写简单的数学程序,绘制重要的平面函数图像及曲面图形.另一方面阶段性的让学生借助数学软件,自己上机演算数学问题,进行实践性操作,动脑、动手解决与专业结合的实际问题[4],让学生获得成就感,调动学生的学习兴趣,培养学生分析问题、解决问题的能力,培养创新能力等综合能力.总之,利用数学软件辅助高等数学的教学,将会在很大程度上降低教与学的难度,缩小数学理论与数学应用之间的距离,提高学生学习数学的兴趣,进一步提高数学教学的效果和教学质量.

2　数学软件辅助高等数学教学的重要性

利用现代计算机技术,将计算机软件与高等数学教学相结合,已成为教学改革的热点.现代社会已进入电子信息技术时代.随着现代信息技术的不断发展,计算机软件的不断升级换代,为大学数学的教与学提供了优越的条件.将常用的数学软件融于高等数学的教学中,是数学教学发展的必然趋势.将数学软件内容融于数学课堂教学中,具有以下优点.

(1)利用数学软件辅助高等数学教学,能更好地促进师生之间的互动,有效地改善传统教学的弊端[5].

(2)利用数学软件强大的图像功能,通过直观图形、动画演示进行理论验证与分析,使得高等数学教学更生动、直观、形象.

(3)在高等数学教学中,借助数学软件构建数学情景引入数学概念和数学方法,将抽象复杂的概念形象化、简单化,弥补直接讲授的抽象与乏味,让学生尽量在快乐中学习,树立学生学好高等数学的信心.

(4)利用数学软件辅助高等数学教学,可以提高学生的计算能力,培养分析和解决问题的能力,进一步提高学生创新能力和实践能力[6].

3　将高等数学内容分成几个具体教学模块,利用数学软件辅助教学

我们通过对高等数学教学内容和教学课时的分析和研究,在高等数学教学过程中,将教学内容分成以下四个教学模块,利用数学软件设计相应的数值实验,用以辅助高等数学教学.

教学模块一: 函数极限.在教学过程中利用数学软件编写实验程序,选取自变量的不同的变化趋势,生成函数图形,观察相应的函数值的变化趋势.通过描绘的函数图形,分析和观察函数连续性和间断点.通过本模块实验对函数进行计算和作图,加深对数列极限和函数极限定义本质的理解,学会求简单函数极限的方法,深入理解函数的连续与间断性质.

输入>>syms n

limit((1+1/n)^n,n,inf)

输出为:

ans=

exp(1)

>> ezplot('(1+1/x)^x',[1,200])

输出图形如图1所示.从图形中可以看出极限值为e.

>> ezplot('x*cos(x)',[0,20*pi])

输出图形如图2所示.结合函数图形,学生很容易理解此函数是无界函数,但不是一个无穷大量.

图1

图2

教学模块二: 函数求导.编程绘制函数在对应区间的图形,求函数的一阶导数和二阶导数,计算一阶导数,二阶导数等于零的点,确定极值点、拐点、单调区间、凹凸区间,并在图形上标示.利用这些分析使得学生掌握求导数的方法,掌握函数、导函数、切线的绘图功能,通过软件的数形结合功能使学生更好的掌握函数极值、最值、单调性、凹凸性等知识点.

图3

输入>> x=-4:0.1:4;

y=(1+x^2)^(−1);

y1=−(2*x)/(x^2 + 1)^2;

y2=(8*x^2)/(x^2 + 1)^3−2/(x^2 + 1)^2;

y3=zeros(1,length(x));

plot(x,y,'b−',x,y1,'g*',x,y2,'r:',x,y3)

输出图形如图3所示.其中虚线是函数的二阶导数y2,米子线是函数的一阶导数y1,观察二阶导数的正负值与函数的凹凸之间的关系.

再次输入

>> f=inline('(8*x^2)/(x^2 + 1)^3 - 2/(x^2 + 1)^2');

a1=fzero(f,[ −4,0])

a2=fzero(f,[0,4])

输出结果为:

a1 =−0.5774

a2 = 0.5774

得到二阶导数等于0的点是−0.5774和 0.5774,可知在(−∞,−0.5774)和(0.5774,+∞)上二阶导数大于零,曲线弧向上凹.在(−0.5774,0.5774)上二阶导数小于零,曲线弧向上凸.

再次输入

>> x= -0.5774;

>> f1=eval('1/(1+x^2)')

>> x=0.5774;

f 2=eval('1/(1+x^2)')

输出结果为:

f1 = 0.7500

f2 =0.7500

这说明函数在x = -0.5774和x =0.5774的函数值都是0.75.因此两个拐点分别是(−0.5774,0.75)和(0.5774,0.75).

教学模块三: 空间图形的绘制.利用绘图命令,编写实验程序,实时生成曲线或曲面,改变曲面的参数值,改变色彩从不同角度观察图形.在同一坐标系下绘制不同的曲面图形,选择不同的颜色标注,并添加交线.了解绘图命令,绘制空间曲面和曲线,通过作图和观察,深入理解多元函数的概念,柱面和旋转曲面等二次曲面方程及图形.提高空间想象能力,建立对空间解析几何的深刻认识.

曲面参数方程为

输入:

>> t=−pi/4:0.1:pi/4;

r=0:0.1:2*pi;

[r,t]=meshgrid(r,t);

x=sin(r).*sec(t);

y=cos(r).*sec(t);

z=3*tan(t);

surf(x,y,z)

输出图形如图4所示.

教学模块四: 无穷级数与泰勒展开.对已知级数,求其和函数和收敛半径; 对已知函数分别求不同阶的泰勒展开式,通过作图比较函数和它的近似多项式,并形成动画进一步观察对比.掌握求无穷级数和,幂级数的收敛域以及函数的泰勒展开的方法.

图4

输入>> for n=1:50;

a=1;

for m=1:n

a=a*10/m;end

plot(n,a,'*')

hold on

end

输出图形如图5所示.

本题的求解调用MATLAB中的Maple内核,再次输入:

clear;

s1=maple('sum(10^n/factorial(n),n=1..infinity)')

得级数和为

s1=exp(10)-1

图5

4　结束语

将数学软件融入高等数学教学,通过课堂提出问题,现场演示操作,让学生参与进来,使他们直接面对自己的劳动成果.现在大部分学生都有电脑,课后通过设计一系列有实际应用背景的问题,引导学生参与操作,模拟过程,综合抽象,延伸拓广,通过对所得图形、数据的观察或演算,很大程度上能够满足他们的好奇心、求知欲和成就感.学生在这种探索分析和计算问题的过程中,能充分发挥学生主观能动性,极大地提高学生的学习积极性,从而提高教学质量和教学效果.同时也为培养数学建模兴趣和爱好奠定坚实的基础,让更多的学生选修数学实验课和数学建模课,为全国大学生数学建模竞赛挑选队员储备了人才.在教学中通过提出问题、发现问题,让学生学会合作交流、自主探索,

培养学生的自主学习能力和质疑意识,鼓励独立判断和批判性思维的建立[6].因为只有在寻求问题的解答和质疑的分析、验证的过程中,在不同意见和观点相互交流或交锋的过程中,才能将新的思维认知融入到已有思维认知当中,才能真正培养出具有创新思维的适应21世纪社会和经济发展需要的新型复合型人才.

参考文献

[1] 李甲聪.浅谈高等数学的学习方法[J].科技创新导报,2009(24): 112

[2] 徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议[J].数学教育学报,2009(2): 4～6

[3] 李士绮.数学教育心理汇[M].上海: 华东师范大学出版社,2001

[4] 刘 尚,张 丽,黄创霞,等.高等数学教学应与学生专业相结合[J].湖南人文科技学院学报20,2013,(3): 51～54

[5] 戴宏亮.运用多媒体改革高等数学课堂教学的实践和认识[J].高等数学研究,2006(6): 54～56

[6] 刘雄伟,王 晓.高等数学实验化教学模式的理论研究与实践[J].高师理科学刊,2012(32): 75～78

Application of Mathematical Software on Advanced Mathematics Teaching

LIU Shang1,ZHOU Fu-zhao1,HUANG Chuang-xia1,WU Zhi-hu2
(1.Changsha University of Science and Technology,mathematics and computing science institute,Changsha 410114; 2.South Central University,school of information science and Engineering ,410083)

Abstract:Considering on the actual situation in the course of advanced mathematics,we can divide the teaching contents into several modules,so the teachers can take full advantage of modern educational technology,and mix some of the teaching contents with mathematical software.It can help to make up the shortcoming of multi-media instruction by the introducing of mathematical software because of its real-time and versatility.We can improve mathematics teaching mode by use of the strong ability of mathematical software on image processing,calculating and analyzing.Following this way,we can encourage the student to join in the teaching course,stimulate their interesting to study,improve the effect of learning.Furthermore,the mathematical modeling ability of students can be enhanced,and can help to cultivate their ability of practice and innovation.

Key words:advanced mathematics,mathematical software,teaching effect,innovation ability

作者简介:刘 尚(1980−),女,湖南汨罗人,在读博士,长沙理工大学数学与计算科学学院讲师.主要研究方向: 偏微分方程数值解

基金项目:湖南省教育厅项目(09C058); 湖南省教育厅教改项目(湘教通【2012】401号); 湖南省教育厅普通高校教学改革研究立项基金项目(湘教通〔2015〕118号); 长沙理工大学教学改革研究项目(JG1443、JG1243); 2012年长沙理工大学校级研究生教改课题(10)

收稿日期:2015-10-02

中图分类号:G642

文献标识码:A

文章编号:1672-5298(2016)01-0075-04