高考中备受青睐的阿波罗尼斯圆

潘敏

1。提出问题

圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A、B（B在A的上方），且|AB|=2。

（Ⅰ）圆C的标准方程为；

（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M、N两点，下列三个结论：

①|NA||NB|=|MA||MB|；

②|NB||NA|-|MA||MB|=2；

③|NB||NA|+|MA||MB|=22。

其中正确结论的序号是（写出所有正确的序号）。

这道题第（Ⅰ）问是大家熟悉的求圆的标准方程的问题，易得出（x-1）2+（y-2）2=2，第（Ⅱ）问命题者以阿波罗斯圆为背景，将解析几何知识与代数中方程思想融为一体。如果学生缺乏对这种经典的数学文化的研究，那么在很短时间内解答出此题是很困难的。事实上，这种数学文化并不是很遥远，在我们教材中就出现过，只是我们平时没有挖掘那些看似平淡无奇的例习题所隐藏着的深远背景。

2。教材背景

问题（人教A版必修2课本第144页复习参考题B组第2题）

已知点M（x，y）与两个定点M1，M2距离比是一个正数m，求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1或m≠1两种情形）。

设M1M2的长为2a，以线段M1M2所在直线为x轴，中垂线为y轴，定点M1（-a，0），M2（a，0），由|MM1||MM2|=m，得（x+a）2+y2（x-a）2+y2=m，化简得（1-m2）x2+（1-m2）y2+2a（1+m2）x+a2（1-m2）=0，

当m=1时，方程即为x=0，此时轨迹是y轴，也就是M1，M2的中垂线。

当m>0且m≠1时，配方整理得：[x-a（m2+1）m2-1]2+y2=2amm2-12，

此时轨迹是一个圆，它的圆心为a（m2+1）m2-1，0，半径为2am|m2-1|的圆。

这一结论，早在公元前就被古希腊著名的数学家阿波罗尼斯发现了，人们把这样的圆称为阿波罗尼斯圆，直线称为阿波罗尼斯直线。

3。探究发现

（1）在平面内，满足|MM1||MM2|=m（m>0，m≠1）的动点C的轨迹是阿波罗尼斯圆，实际上，根据轨迹方程的纯粹性和完备性可知，阿波罗尼斯圆上任意一点M也必定满足|MM1||MM2|=m（m>0，m≠1）。

（2）给定两个定点及不同的定比（不为1）对应不同的阿波罗尼斯圆。

（3）若给出阿波罗尼斯圆及一个定点，则另一个定点及定比是唯一确定。

已知圆O：x2+y2=γ2和定点A（a，0）（其中γ，a已知），若定点B（b，0）（b≠a）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MA|=λ|MB|，则b=γ2a，λ=r|a|。

证明 设M（x，y），则x2+y2=γ2，由|MA|=λ|MB|得|MB|2=λ2|MA|2

利用两点距离公式化简得2（aλ2-b）x=（a2+γ2）λ2-b2-γ2对x∈[-γ，γ]恒成立。

从而aλ2-b=0（a2+γ2）λ2-b2-γ2=0若a=0，则b=0，λ=1，A，B重合。（舍）

若a≠0，解得λ=γ|a|b=γ2a或λ=1b=a（舍）所以存在点Bγ2a，0，对圆O上任一点M，都有|MB|=λ|MA|，其中λ=r|a|。当a=-2，γ=1，就是2014年湖北省高考文科17题，可以得出b=-12，λ=12。

4。解决问题

通过上面探究阿波罗尼斯圆相关知识的可逆性，不难解决问题：

设M（x，y），可以推出A（0，2-1），B（0，2+1）

|MA||MB|=x2+（y-2+1）2x2+（y-2-1）2=（2-y）（2-1）（2-y）（2+1）=2-12+1=2-1

由M任意性，若N在此圆上也满足|NA||NB|=2-1

所以x2+y2=1是定点A，B对应的阿波罗尼斯圆，即①正确

由探究发现，同一个阿波罗尼斯圆有|NA||NB|=|MA||MB|=λ

所以|NB||NA|=1λ=2+1，即②③也正确。

5。反思感悟

近几年来，阿波罗尼斯圆在高考中是一个亮点，有关这类考题屡见不鲜，不仅前面列举湖北、江苏高考卷中出现了，还有像北京、四川等地方考题中也考过。虽然高考很神圣，高考题很神秘，但掀开这层面纱，你不难发现，它不那么神奇。事实上，它就来源于我们平常那些例习题中，教师应该注重挖掘，了解一些题目及结论产生的背景和应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法。适时对有着关联的各类例题和习题进行整合、重组、演变，使学生能通过这些变化与联系，从不同侧面和多角度把握问题本质，触类旁通，运用运动变化的观点去分析、观察、探索数学问题。正如德国教育家帝斯多惠指出，“不好的老师转述真理，好的老师教学生去发现真理”