不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误
2016-05-14黄小宁
[摘要]2300年初等几何一直认定相互平行且距离为0的直线必重合相等，等长的直线段必有合同关系；然而集合与几何起码常识凸显直线A沿本身伸缩或平移后就≠A了，有等长直线段a与b，a的元点多于b的元点使a不可≌b——从一侧面显示2300年“点无大小”公理并非“不容置疑”（坚持“点无大小”就无法解释图形a与b的“像素”点为何不一样多？）。人类自识无理数2500年来一直认定各已知正数x的对应x[]2均是已知正数，然而除了弱智者谁都能懂的道理凸显R有“更无理”正数x的对应x[]2是R外数。指出初等数学对无穷数列的认识一直存在极重大缺陷与错误。不知函数关系与该关系中的函数是两根本不同概念使中学有违反最起码数学常识“u-v=0的含义是u=v”的错误。
[关键词]中学数学一系列重大错误；伪二重直线（段）；推翻百年集论和百年“R完备、封闭”论；集合之间的相等及近似相等关系；有序数集从大到小一个不漏的一切元；著名数学家朱梧槚、王世强
“科学”共识：数学，尤其是“非常成熟”的初等数学绝不会有重大错误更谈不上有一系列……因此有人很有代表性地认为：一看标题和摘要就知文章必是极荒谬错误，全世界数理学界的名人、专家教授一直公认初等数学严密精确，一无名之辈难道还能远比全世界的名人、专家教授都高明？！作者需去看病。“与全社会为敌”（生理学家哈维语）的“反科学”的“太狂妄”发现来自于太浅显的：①几何起码常识c：重合相等的图形必合同。②集合起码常识d：若数集A=B则A的元x与B的元y必可一一对应相等即有xy=x（表A各元x均有与之对应相等的数y∈B且B各元y均有与之对应相等的数x∈A）。③后文的不等式起码常识e。故高中生也有能力分辨本文是“恶毒攻击”还是实事求是。设R所有非负元x≥0组成R+。复平面z=x+yi的射线z=x≥0可收缩成射线0。5z=0。5x≥0（非保距变换），数学一直认定两射线重合相等，因有中学几百年函数“常识”：定义域为R+的y（x）=0。5x≥0的值域=R+。其实这是违反常识c、d从而使中学数学自相矛盾的肉眼直观错觉。中国著名数学家王世强敢于实事求是地强烈推荐[1]书，肯定朱梧槚教授、博导“在数学方面……得到一系列重大成果。”（[1]书序1）[1]书4页：“朱梧槚的‘……等一系列重大发现表明整个数学基础大厦已经岌岌可危！这一切将预示着怎样的数学危机？”。
1。变数间的函数关系与该关系中的函数是两根本不同概念
马小伯等老师坚持正确的单值函数定义：“两个变量x，y，如果对于x在某个范围D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么y就是x的函数……x叫做自变量……[2]”。“函数有两要素：定义域与对应法则”——仅从此语就可一眼看出对应法则≠函数，正如定义域≠函数一样。“D各元x都须与y=7x对应”这一对应法则不是函数，法则中的对应变数7x才是函数。函数关系是自变量与因变量之间的互为对应关系。变数x与对应变数-x有互为相反数的对应（函数）关系，但x的函数-x不是此函数关系本身而是该关系中的x的对应变数。一种关系和构成此关系的成员是两根本不同概念。数与数之间才有距离关系。函数y=f（x）→7可无穷逼近7而与7有距离关系。而函数关系、对应法则就不可逼近哪个数，因其与数之间没距离关系。
因R各元x变号为-x组成的集还是R故R各元均可由x代表也均可由-x代表。R各元-x与R各元y=y（-x）=x一一对应，据函数定义y（-x）中的-x是自变量，y是-x的函数。同样若有数集A及A各元2x的对应数y=y（2x）的全体组成的B，则y（2x）中的2x是自变量；要注意y是2x≠x的函数。定义域是自变量所有能取的数组成的集，搞错自变量就会将两异集误为同一集。若自变数x=2x[]2=2t则函数y=y（x）=y（2t）=x中的x=2t是自变量而t不是自变量；注：2t的变域与t=x[]2的变域一般是不同的。显然x=2t（表示t的变域各元t均有对应数2t）是t的函数，x（t）与y（x）有函数关系，但构成此关系的两函数与关系本身是两不同概念。注：y（x）=y（t）=x=2t（t=x[]2），详论见第6节。所以一般的函数y（x）都是函数x（t）的函数。又例x=x+1-1=h-1，y=y（x）=y（h-1）是函数x=h-1的函数。
书本断定有共同变换法则和定义域、值域的函数必相等。现举一反例。有定义域均是R的y1=f（x）=x与以-x为自变量的y2=g（-x）=-x=-y1，其变换法则也相同：法则f（g）规定自变量x（-x）变为本身。说y1=y2成立（其实y2=-y1）就是说y1-y2=0即x-（-x）=2x=0，x=0——与x 的变域是R矛盾。其实x轴中有变域均是R的两动点x与-x（读者可作图），它们运动方向相反，y轴中有两对应函数动点y1=x及y2=-x=-y1（读者可作图），它们运动方向相反从而不可是二重动点，虽然它们的值域均=R使其运动划出的图形是二重图形。
其实对应变数即函数y的图像是一维空间“管道”Y内的动点y而y=f（x）与x之间的对应（函数）关系的图像是平面上的曲（直）线，动点（x，y）不是函数动点y而是反映动点y与动点x之间函数关系的关系动点，其固定一下就表示两个数之间的对应关系。两变数间的函数关系的图像表示法与函数（不是函数关系）的图像表示法，分别表示根本不同的内容。函数动点y=x的图像是沿y轴运动的动点y=x，其变域的图像是y=x轴，而函数关系y（x）=x的图像是斜率为1的直线y=x——形象直观显示x轴的动点x与y轴的动点y=x之间的对应关系的函数关系图。
直线y=2x中的y，若是关于x的函数则变换式y=2x表示各x变换为y=2x使直线的斜率k=2x[]x=2（x≠0），若是关于2x的函数则变换式y=2x是恒等变换式使直线的斜率k=2x[]2x=1。搞错自变量就会搞错函数关系从而画错函数关系图。按“橡皮几何学”观点z=x+yi面可弹性收缩成0。5z=0。5x+0。5yi面（uv平面）使平面z的一部分：x轴和y轴随之也收缩成u=0。5x轴和v=0。5y轴（y轴收缩使其线段[0，2]y轴缩短为线段[0，1]v=0。5y轴）。方程x[]32+y[]22=1（可变形为4x2+9y2=36）的图像是什么？若以x为自变量以y为因变量则方程图像是椭圆，若其是以x[]3=X和y[]2=Y为变量的方程则图像是单位圆，相应有X=x[]3轴和Y=y[]2轴（h问题：x轴=X轴吗？…？）以及XY平面；若其是以2x=u和3y=v为变量的方程则图像是半径为6的圆，相应有u=2x轴和v=3y轴以及uv平面。
2。对无穷数列的认识一直存在极重大缺陷与错误而将两异数列误为同一数列
x轴上的自然数点序列（集）N={0，1，2，…，n，…}可形象化为射线N即射线n≥0——由一个个长、宽都是1的正方形点：□·组成，各点n如原子有原子核那样有中心，这中心称为点的核心（设是圆形），其直径远小于元点的长和宽；规定：两点间的距离是它们的核心的连线的长，包含两端点的直线段的长度是两端点间的距离（注：单位长可是0。00001毫米等等）。须有度量两元点间距离的思维量尺，其刻度线的宽度=点的核心的直径，在此量尺下量出元点的核心的直径=0，两相邻元点的距离是点的长度。射线n≥0可是一元点□·作相应直线运动划出的宽为1的无穷长长方形。射线n可伸缩为射线kn（相应正常数k≠1）≥0 ——可由长、宽都是k的正方形点组成。射线n各点□·收缩变小为长、宽都是1[]2的□点就使射线n收缩为射线n[]2≥0（叠压在射线n≥0上）。点集随元的变换而变换。若各元点没移动就没射线的整体移动，同样若各元点没收缩变小就没射线的整体收缩（点的多少没变）；否则就与“元点是射线的一部分”相矛盾。
射线n≥0某元点不改变位置（其核心的大小也不变）但单独收缩变小为长、宽都是1[]2的□点就变成不是该线的元点□·了（是射线n[]2≥0的元点），虽然其位置坐标没改变；变小前后的□点可看成是同心□：，这两□只有重叠关系而无重合关系。设有与射线N的元点n=0重合的正方形A及与射线n[]2≥0的元点n[]2=0重合的正方形B（与A同心），它们同时从位置n=n[]2=0处出发沿所在射线“轨道”正向运动，当与出发处相距3[]2=1。5时就都停下，此时B就成为射线n[]2≥0的元点n[]2=3[]2=1。5，而A（位置坐标=1。5）就还未能成为射线n≥0的元点，虽然其在该线上；若它们与出发处相距4[]2=2时都停下则其运动划出了两等长直线段a={0，1，2}N和b=0，1[]2，2[]2，3[]2，4[]2射线n[]2≥0，显然b的元多于a的元。两等长线段a和b没公共元点从而不可重合，当然更无合同关系；而数集a和b就有公共元：0，1，2。可见点集a、b与数集a、b有根本区别，数形结合须跃出根本误区。“R各点（数）”说明R是点（数）集。以上说明沿射线N运动的点A很多时候所处位置都不可用自然数n来表示，同样，…。
射线N={n}各点n≥0沿N正向保距平移距离1成为点n的后继点y=n+1>n生成后继点序列H={1，2，…，n+1，…}（n≥0）～N，中学一直认定H=N一切正数点组成的子部射线H′={1，2，…，n≥1，…}；其实这是几百年重大错误。H′各点n≥1到点n=0的距离是ρ1=n≥1，H各点n+1（n≥0）到点n=0的距离是ρ2=n+1≥1；显然若H′与H是同一点列射线则ρ1与ρ2必是同一变量，故由ρ1与ρ2不是同一函数推知H′≠H，“H′各点n≥1与H各点n+1≥1可一一对应相等”是似是而非的假象。有了“测距仪”使人一下子测知H′≠H。详论见[3]。
h定理1 各元不<0的A与B，A各元x到0的距离就是x本身，A=B的充分必要条件：A各元x到0的距离x=y（B各元y到0的距离）。
证 A（B）各元x（y）到0的距离是变量x（y），显然若A与B是同一集则x与y必是同一距离变量即x=y。证毕。
3。研究集之间是否有近似相等关系意义重大——点集的有序连续变化规律
直线与平面（曲线、面）是简单点集（复杂点集）。曲线（面）中也有简单点集与复杂点集之分，例曲线y=x2与曲线y=x2+x3+x4相比是简单点集；……集随元的变换而变换。集之间是否有近似相等关系？元为变元的变点集与一固定的简单点集能否趋于重合相等？这是非常重要的问题，因“用比较简单的对象来逼近比较复杂的对象的问题几乎在数学的各个领域中都起着重要的作用[6]。”例若不知曲面的充分小子部≈平面块就没曲面积分论（注：如不懂原理的文盲同样能舞枪弄炮那样不懂原理者同样能套用公式“解题”得高分）；……画人像时必先画出人的大致轮廓然后使其不断逼近人形，最后成像。同样，复杂点集A与简单点集B叠压在一起，若A能连续变形地变得与B重合则其必先有≈B然后才能=B。若各x变换为y=kx≈x+0则这一变换≈没变换的恒等变换。
4。2200年“形状、大小相同的图形必合同”是肉眼直观错觉——集合、几何起码常识推翻百年集论和几百年函数“常识”凸显有“像素”点不一样多的等长闭直线段
区间（0，1）R表示R中0与1之间所有数组成的集（后文表明这不是表示0与1之间所有数组成的集，数形结合须跃出根本误区），其余类推。初中生就须正确认识一次函数y=x-1 的定义域即x=y+1的值域。中学几百年函数“常识”：定义域为R的y=x+1的值域=R。其实这是违反集合常识d的肉眼直观错觉。
说R轴各元点x可沿轴前移变为点x+△x=x+1=X就是说R轴可沿轴正向保距平移距离1变为元为点X的X=x+1轴。其余类推。射线N={0，1，2，…，n，…}沿N正向保距平移距离1变为射线H={1，2，…，n+1，…}，N与H任一方的绝大多数元都有与其对应相等的点∈对方使N≈H。这是因平移距离1与射线N的长相比≈0使N≈没移动。各元x均有对应数x+c的R各元x保距变为X=x+c生成元为X的R′各元x+c与R各x不可一一对应相等：显然R各x只可与各x+c∈R′中的x一一对应相等而不可与各（x+c）本身一一对应相等（c≠0时）。因保距平移是有序连续运动故当R轴的平移距离|c|与R轴的长相比≈0时平移前后的直线≈重合在一起且|c|越小R′与R的差别就越小。这变化趋势说明当且仅当c=0时才可有R′=R。显然在xX=x+c∈R′中当且仅当c=0时才有xX=x使R′=R。
两R轴成二重轴（R∪R=R={（x，x）}）而由一对对二重点（x，x）组成，现其中一R轴各点x沿轴正向保距前移变为点X=x+1生成X=x+1轴叠压在另一R轴上，各前移点x+1与各不动点x显然不可一一对应重合在一起了，因点x+1都在点x的前面。x轴各元点x到点x=0的距离是ρ3=|x|，叠压在x轴上的X轴各元点X=x+1到点x=0的距离是ρ4=|x+1|；显然若x轴与X轴是同一轴则ρ3与ρ4必是同一变量，故由ρ4与ρ3不是同一函数推知x轴与X轴不是同一直线。
R+有子部射线x≥1。说R+各元点x≥0可变换为点y=x+△x=x+1就是说R+可沿本身正向平移距离1变为元为y的射线y=x+1≥1叠压在射线x≥1（元为x≥1）上，这两射线（肉眼）看起来似二重点集，但据h定理1等它们不是二重射线。
所以“可沿轴正向保距平移距离1且平移前后的数轴是同一R轴（即定义域为R的y=x+1的值域=R）”中的“R轴”因违反集合常识d从而确是如朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生4位数学家所说“是自相矛盾的非集[7]”。据集合常识d有
h定理2 任一数集A（可形象化为一维空间“管道”K内的点集）沿K保距平移一段非0距离变为B必≠A（——表明一数直线沿本身保距平移各不同的非0距离可变为无穷多各异直线而同在K管道内，而中学几百年解析几何一直只识其中的一直线且将无穷多各异直线误为同一线）。
显然如各x与各x+1>x不可一一对应相等一样，各x>0与各对应数kx（正数k≠1）（>或<）x也不可一一对应相等。P各元n=0，1，2保序变为2n组成{0，2，4}各元2n与P各元n不可一一对应相等；各n=0，1，2只可与各2n=n+n中的n=0，1，2一一对应相等。同样R+各元x≥0保序变为y=2x组成R″各元2x≥0与R+各x也不可一一对应相等：R+各x只可与各2x=x+x∈R″中的x一一对应相等而不可与各（x+x）本身一一对应相等；将各（x+x）中加号左边的x都提取出来组成的集就是R+，x+x变为x±0。0001x≈x+0，R″就≈R+——说明R+各x变为kx（k>0）组成R″，当且仅当k→1时R″与R+趋于重合相等——说明k=1时才有R″与R+相等。显然在xkx中当且仅当k=1时才可有xx。
3个变数可形象化为数轴上的3个动点（可固定一下）。点（物体）x移动到新位置成点x′还是移动前的点（物体）即移动前、后的点只有位置差别而无别的差别。至少有两元的点集甲保距变为点集乙就称甲≌乙——表示甲与乙可通过保距变换而重合。因相等的图形（点集）必合同故有
h定理3 点集A（至少有两元）=B的必要条件是A≌B。
h定理4 若点集A（至少有两元）各点P保距变为点P′（P）生成B≌A则A各点P到A任一点P0的距离ρ=ρ′（B各点P′（P）到点P′0（P0）∈B的距离）。
证 坐在汽车里的各人在地球内的位置不断改变，但在车内的位置都没变。同样A变为B≌A只是A作改变空间位置的刚体运动，这运动不改变图形各元点之间的位置关系：各元点随图形的运动而运动，但其始终都没离开运动前自己所在的“座位”，这就使ρ与ρ′是同一距离变量。证毕。
参见[3]，据h定理4可证有无穷多形状、大小相同的图形均不合同。
R+各点x≥0保序变为点x+△x=X=2x生成元为点X的射线X=2x≥0就是R+均匀伸长变为射线X=2x≥0叠压在R+上（使R+的子部线段[0，1]伸长变为元是点X的线段[0，2]X=2x轴叠压在线段[0，2]R+上）。R+各元x≥0变为kx（正常数k>0）组成的集可记为kR+。R+伸缩成射线kR+（k≠1）叠压在R+上，据h定理1和集合常识d，R+≠kR+；伸缩变换是非保距变换，据h定理3，R+伸缩成射线kR+≠R+。所以R+与kR+是貌似重合的伪二重射线。详论见[3]。同理，空间中任何可沿本身伸缩的射线伸缩前后的射线不可重合相等（伸缩系数≠1）。所以“可沿本身伸缩且伸缩前后的直线重合相等”中的“直线”确是“自相矛盾的非集”。以非集为集的理论必是错上加错的更重大错误。
线段Z′=[0，2]R+的子部D=[0，1]Z′各元x保序变为X=2x生成元为X=2x的线段Z=[0，2]射线2R+叠压在线段Z′R+上。问题是流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：“Z=Z′即由0≤x≤1（x 的变域是D）得0≤2x≤2中2x的变域Z=Z′”其实是违反集合常识d和几何常识c 的肉眼直观错觉。理由：
①据h定理1元为非负数（x和X=2x）的Z′与Z不相等。
②Z′=[0，2]R+各点x到点x=0的距离是变量x，Z=[0，2]2R+各点X=2x到点X=2x=0的距离是2x≠x。据h定理4等长线段Z′与Z不合同，据h定理3 Z′≠Z。将长为2的一截橡皮筋s从中间剪断两等分成二截橡皮筋a与b，将a拉长为长为2的橡皮筋c，有人以为c=s；同样几百年中学数学一直误以为将长为1的线段DZ′“拉长”为长为2的线段Z（～D）=Z′，从而使人们以为康脱的“直线段的部分点可与全部点一样多”是“革命发现”。
③没人能证Z各元X=2x（0≤2x≤2）与Z′各元x（0≤x≤2）可一一对应（配对），即没一配对法能使Z′各元x都可有“配偶”X=2x∈Z，详论见[8]。这两等长线段Z与Z′的元2x与x不可一一配对说明Z′的元点多于Z～DZ′的元点（——从一侧面显示2200年“点无大小”公理并非“不容置疑”）使Z′不可=Z。
④下节证明了Z′有正数元x的对应x[]2是DZ′外数。
U=R各元x变为-x得元为-x 的V=R，U有正数元x=e和负数元x=-e；U各正数e与V各正数-（-e）（-e∈U）一一对应相等，U各负数-e与V各负数-e（e∈U）一一对应相等。这说明有一非常重要的事实：若集U=V则两集的元必可一一对应相等。Z′各数都由x代表，其中有数可表为y=2x（x=y[]2∈D），这类数也可由y=2x代表（当x与y=2x代表同一数时有x=y=2x），所有y组成的集记为B（=Z）。问题是B=Z′吗？即Z′各数除了都可由x代表外也都可由y=2x代表吗？这就须研究B各元y=2x与Z′各元x能否一一对应重合相等即B∪Z′=B=Z′能否成立？Z′中有数可表为y=2t（t=x[]2）=x（不限制t=x[]2必∈Z′），这类数也可由y=2t代表，所有y组成I。I=Z′吗？即Z′各元也都可由y=2t代表吗？因有x←→y=2x[]2=x故I=Z′。同样若B（=Z）=Z′则必能证明B各元y=2x与Z′各元x能一一对应相等，若无人能证那就说明Z′≠B。网上有人证明了B各元y=2x与Z各元X=2x能一一对应相等就断定B=Z′，这是错误的。
0 表x的变域是C=（0，2）R，但若限制t=x[]2必∈Z′则式中x的变域M就≠C了，理由见下节。 以上说明一维空间“管道”K内一数直线沿K伸缩变换（伸缩系数k>0可取无穷多数）可变为无穷多各异直线而同在K内。直线y-x=0可收缩成直线y[]2-x[]2=0（x[]2与y[]2分别是自变数和因变数），其在x轴的正投影是X=x[]2轴…… 按证明Z′≠Z的方法易证RD=[0，1]各元x（非负数）的对应数y=xn（n≥2）的全体组成 J≠D即由0≤x≤1（x 的变域是D）得0≤xn≤1中xn的值域J≠D；易证定义域同为射线R+的y=xn（n≥2）≥0和y=x≥0等等的值域均≠R+…。自有变域概念几百年来数学一直搞错了y（x）的值域而将两异集误为同一集。 5。除了弱智者谁都能懂的道理凸显R有元x无对应x[]2∈R——0 有傻瓜相机也有傻瓜数学：说y=2x>x>0中的y可取3、2、1就是说式中x可<这3个数，说y可一个不漏地遍取F=（1，2）一切数就是说x可一个不漏地遍比F一切数都小而取F外数。关键是连文盲也知“一个不漏”的确切含义。不等式起码常识：说“Z′=[0，2]R内从大到小一个不漏的一切正数元x都有对应数x[]2（∈Z′） 若①式0 “一一对应”中的“一”的含义之一：一个不漏。据傻瓜数学说“R内一个不漏的一切正数x都有对应y=x[]2 6。“函数相等”与“函数关系相等”是两不同概念——自变量、变换法则和定义域都不同的函数也可相等 “管道”Y内有沿Y移动的两动点：y3=y3（x）=2x≥0和y4=y4（2x）=2x≥0（式中x≥0的变域均是R+），其总重合在一起运动划出了二重射线y3（x）=2x≥0与y4（2x）=2x≥0。函数关系式 ①y3（x）=2x，自变量x的变域是R+，2x的变域是2R+。 ②y4（2x）=2x=y3（x），自变量=因变量=2x的变域是2R+。 中的①规定自变量x变为自己的2倍，②规定自变量2x变为自己。显然①与②是不同的关系式，但式中变域同是2R+的函数动点y3与y4总重合相等：y3-y4=0。中学的“y3≠y4”显然违反最起码数学常识：y3-y4=0的含义是y3与y4没差别而相等。将重合相等的函数误为不相等就会将合同的图形误为不合同。 其实两函数点若变域相同且在各自的任何变动中总重合在一起则其必相等。参见第1节，y（x）=x是关于x=2tt=x[]2的函数，y（t）=x=2t是关于t=x[]2的函数；显然y（x）=y（t）=x，虽然函数关系y（x）=x的关系图是斜率为1的直线y=x，关系y（t）=x=2t的关系图是斜率为2的直线y=2t （x轴收缩为t=x[]2轴叠压在x轴上），且x的变域是R，t=x[]2的变域是kR（k=1[]2）；管道X内的两动点x∈x轴与t=x[]2∈t=x[]2轴总对应着管道Y中同一动点y（x）=x=y（t）=2t=x。Y中有定义域是R的动点ya=|x|≥0与定义域是R+的动点yb=|x|≥0。当规定自变动点x由小到大取值时Y中因点x（由-∞→+∞）动而动的动点ya≥0由y=+∞处移动到y=0处，然后再由此处与动点yb≥0（定义域是R+）一起移动到y=+∞处，由两点不可总重合知其是不相等的函数动点。 7。结束语 综上所述，x轴可伸缩平移成X=kx+b轴（叠压在x轴上）≠x轴，其中常数k>0是伸缩因子，b≠0是平移因子；显然在xX=kx+b中当且仅当k=1、b=0时才可有xX=x。所以“X轴与x轴重合”是中学解析几何的直观错觉，是搞错X=kx+b的值域的以井代天错误。有了“测距仪”使人一下子测知存在2300年初等几何一直不知的伪二重直线（段）。错误的基础教育会使受教育者打歪成才的基础。明知数学巨轮漏洞百出却讳疾忌医地隐瞒此重大真相（互联网时代是隐瞒不了的）不是真正热爱数学、真正尊重与爱护数学家，恰恰相反，这会害巨轮遭灭顶之灾。破除迷信、解放思想、实事求是、有错必纠，才能创造神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：由目光太短浅的“肉眼”数学一下子飞跃成不再被违反集合常识d的假“无穷集”迷惑的科学“慧眼”数学。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言：21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪[9]”。 [参考文献] [1]李绪蓉。朱梧槚传[M]。北京：清华大学出版社，2014。 [2]马小伯等。都是f（）惹的祸！[M]。上海：上海交通大学出版社，2004，7。 [3]黄小宁。课本一系列重大根本错误：将两异图形（数列）误为同一图形（数列）——书中x轴确如朱梧槚等4位数学家所说“是自相矛盾的非集”[J]。科技视界，2015（3）：332。 [4]黄小宁。著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误——发现最小、大正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名世界难题[J]。科技视界，2014（10）：67； [5]黄小宁。证明数偶集{（1，2）（3，4）…（2n-1，2n）…}有最大数元——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误[J]。科技视界，2014（24）：362。 [6]（苏）В。К。嘉德克著，沈燮昌等译。多项式一致逼近函数导论[M]。北京：北京大学出版社，1989：序言。 [7]朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生。关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J]。南京邮电大学学报（自然版），2006（6）。 [8]黄小宁。两集相等概念推翻百年集论和几百年函数“常识”——课本重大错误：定义域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J]。数学学习与研究，2015（3）：117。 [9]王前。探索数学的生命：哲人科学家大卫·希尔伯特[M]。福州：福建教育出版社：1996：188。
