重拾高等代数中的两个定理

方又超

[摘要]矩阵的初等变换是学习高等代数的一个重要工具，用初等矩阵可建立初等变换所施行的前后对象间的关系等式，其形式往往是在变换前的对象的左边或右边乘以一个初等矩阵得到变换后的对象。由于初等矩阵是可逆的，而可逆矩阵可以从等式两边约去，因此能保证初等变换所施行的前后对象具有一些共同的代数性质。本文用可逆矩阵可从等式两边约去这一性质简明地探讨了高等代数中的两个定理。

[关键词]初等变换；初等矩阵；可逆；同解；极大线性无关组

[中图分类号]O151。2

1。引 言

初次接触“线性方程组的初等变换是同解变换”这一定理时，觉得这是显而易见的，但要写下其证明过程又觉得不那么容易，主要是不清楚施行初等变换前后的两个线性方程组的整体关系等式，证明过程较多地采用描述性的语言，显得有点繁琐。定理：矩阵的行初等变换不改变矩阵的列秩；矩阵的列初等变换不改变矩阵的行秩。在文献[2]中的证明过程关键依赖于线性方程组的初等变换是同解变换这一定理，其中的有些细节对初学者有一定的难度，主要还是不清楚变换前后的两个矩阵的列向量间的具体点的关系式。文献[1]在处理前一个定理和文献[2]在处理后一个定理时都还没有编排到矩阵乘法、初等矩阵等内容。学习数学是一个渐进的过程，对于一开始较难理解的某些数学问题，只要不对后继学习产生严重障碍，我们可以放一放，待进一步的学习之后，回过头再作思考。学习了矩阵乘法、初等矩阵和可逆矩阵这些内容后，可对这两个定理的证明作适当地处理，进一步明确原证明中的一些细节，真正地理解原证明。

2。对两个定理的证明处理

在分别对这两个定理作简明证明之前，我们先提出如下的显而易见的引理。

引理 设A∈Fm×n，B∈Fm×l，P是数域F上的一个m阶可逆矩阵，则矩阵方程AX=B与（PA）X=PB同解。

该引理表明可逆矩阵可以从等式两边约去，可逆矩阵在代数式的恒等变形中起到关键作用。

定理1 线性方程组的初等变换是同解变换。

证明 设含有n个未知量m个方程的线性方程组为AX=b，

其中A∈Fm×n，X=（x1，x2，…，xn）T，b=（b1，b2，…，bm）T。对该线性方程组施行一次线性方程组的初等变换，相当于在该线性方程组的两边同时左乘一个相应的初等矩阵，即AX=b施行一次线性方程组的初等变换后所得的线性方程组为（PA）X=Pb，其中P为所施行的初等变换对应的初等矩阵（如对AX=b施行第i个方程的k倍加到第j个方程的线性方程组的初等变换后所得线性方程组为[Tji（k）A]X=Tji（k）b）。因为初等矩阵P可逆，由引理可知AX=b与（PA）X=Pb同解。即线性方程组的初等变换不改变线性方程组的解。（证毕）

注1：若把m行n列矩阵A的n个列向量记为α1，α2，…，αn，b=β，P为一个m阶

可逆矩阵，则线性方程组

x1α1+x2α2+…+xnαn=β

与x1（Pα1）+x2（Pα2）+…+xn（Pαn）=Pβ

同解。

定理2 矩阵的行初等变换不改变矩阵的列秩；矩阵的列初等变换不改变矩阵的行秩。

证明 这里只证明“矩阵的行初等变换不改变矩阵的列秩”。

已知A是数域F上一个m行n列的矩阵，α1，α2，…，αn是A的n个m维列向量。若A经过一系列的行初等变换后所得矩阵是B，设B的n个列向量为β1，β2，…，βn，由A经过一系列的行初等变换后得到矩阵B可知，存在一个可逆矩阵P，使得B=PA，即（β1，β2，…，βn）=P（α1，α2，…，αn），也即βi=Pαi（i=1，2，…，n）。设A的列秩为r，{α1，α2，…，αn}的一个极大线性无关组为{αi1，αi2，…，αir}，由注1可知齐次线性方程组x1αi1+x2αi2+…+xrαir=0与齐次线性方程组x1Pαi1+x2Pαi2+…+xrPαir=0同解，因为{αi1，αi2，…，αir}是线性无关组，所以x1αi1+x2αi2+…+xrαir=0只有零解，因而x1Pαi1+x2Pαi2+…+xrPαir=0只有零解，即Pαi1，Pαi2，…，Pαir线性无关，也即βi1，βi2，…，βir线性无关；反之，若βi1，βi2，…，βir线性无关，则αi1，αi2，…，αir也线性无关。同理可证，若有线性表示式

αi=k1αi1+k2αi2+…+krαir（i=1，2，…，n）。

则也有线性表示式

βi=k1βi1+k2βi2+…+krβir（i=1，2，…，n）。

反之亦然，即{βi1，βi2，…，βir}是{β1，β2，…，βn}的一个极大线性无关组，即B矩阵的列秩也是r。综上可知矩阵的行初等变换不改变矩阵的列秩，且{αi1，αi2，…，αir}是{α1，α2，…，αn}的一个极大线性无关组的充要条件是{βi1，βi2，…，βir}是{β1，β2，…，βn}的一个极大线性无关组。

3。总 结

以上重新处理两个定理的过程，关键用到一个简单的原理：可逆矩阵可以从等式两边“约去”，即文中引理。这种类似“约分”的技巧在初等数学中较常见，在高等代数的教学过程中适当类比初等数学的处理方法，可能对我们的学生有所帮助。另外，可逆矩阵本质上是一些初等矩阵的乘积，初等矩阵是为了准确刻画矩阵的初等变换过程的数量关系引入的一种特殊的矩阵，而矩阵的初等变换根源于线性方程组的初等变换。我们从具体的线性方程组的求解抽象出矩阵的初等变换，深入探讨矩阵的初等变换后回过头来重新认识线性方程组的求解，遵循着从“具体到抽象”，再由“抽象到具体”的思维过程。在这种交互的过程中，我们的认识前进了一小步。