费尔马大定理简短证明一个特例

闵春印 胡久稔

[摘要]费尔马大定理的证明到底有没有，如费尔马本人所说的巧妙证明方式，时至今日仍是个谜，下面给出的证明，方法简单初等，理解与阅读的速度同步，本文目的在于寻求费尔马巧妙证明方法。

[关键词]正整数；方程；正整数解

设n≥3那么方程

xn+yn=zn，xyz≠0。（1）

没有正整数。

证明：熟知，当n≥3时，若n不是4的倍数，那就一定是某奇素数P的倍数，当n是4的倍数时，方程（1）已被世人所证无正整解。当n是某奇素数P的倍数时，令n=pn1，由（1）得

xpn1+ypn1=zpn1。

令xn1=a，yn1=b，z n1=c，由此得

ap+bp=cp。

故由（1）式只要证明

xp+yp=zp，xyz≠0。（2）

无正整数就可以了。

反证法，若（2）有正整解x，y，z。那就一定有最小解，故设（2）式x，y，z为最小正整数解，因（2）式为最小解方程，故必须

（x，y）=1，（x，z）=1，（y，z）=1，（3）

即x，y，z两两互素，否则，若（x，y）=d>1，

即a︱x，a︱y，则有d︱z，从而令x=dx1，y=dy1，z=dz1，代入（2）得

（dx1）p+（dy1）p=（dz1）p，

各项被dp整除后得

xp1+yp1=zp1。

这又出现一组新的小于（2）式最小解方程，此与题设（2）为最小解小程矛盾。故（2）式为最小解方程必须（x，y）=1，（x，z）=1，（y，z）=1。

对于（2）式，x≠y，否则，若x=y，则有

2xp=zp，显然2不是完全n次幂，故设x≠z，或y≠z，这是因为，若x=z，或y=z，则有y=0，或x=0，此与题设xyz≠0相矛盾。故x≠z，y≠z。因（2）式是正整数求和方程，故令

x

由（3），令z=x+b，b≥1。

当b=1时，代入（2）得

xp+yp=（x+1）p。

这不可能，因为z=x+1，z与x是连续自然数，故由（3）对于x

当b>1时，由（2）有

xp+yp=（x+b）p，b>1。（4）

将方程（4）展开得

xp+yp=xp+C1Pxp-1b+C2Pxp-2b2+……+C1Pxbp-1+bp。

从而得

yp=C1Pxp-1b+C2Pxp-1b2+……+C1Pxbp-1+bp。（5）

对于（5）式右边能被b整除，显然若有解x，y，z，则必须有b能整除y，b︱y为整数，故令

y=by1。（6）

代入（5）得

bpyp1=C1Pxp-1b+C2Pxp-2b2+……+C1Pxb p-1+bp。（7）

对于（7）式各项被b整除后得

bp-1yp1=C1Pxp-1+C2Pxp-2b+……+C1Pxb p-2+b p-1。（8）

因p≥3，所以方程左边能被b整除，故右边也必须能被b整除，右边除第一项外均能被b整除，故b︱C1Px p-1 为整数，这里C1P=p，又因bX。这是因为若b︱X为整数。y=by1，此与题设x、y、z两两互素相矛盾，故bX，只能b︱P为整数，因P为奇素数，故b=P，代入（6）得

y=by1=py1。（9）

将（9）代入（8）式，再用P整除方程两边得

PP-2y1P=XP-1+C2PXP-2+……+XPP-2+ PP-2。（10）

因P≥3中，又因CnP为P的倍数，方程左为P的倍数，方程右除第一项Xp-1外，均为P的倍数，故若方程有正整数解，必有P︱Xp-1为整数，又因y=by1=Py1，P︱Y为整数，就是说X与Y均为P的倍数，亦即（x，y）=P≥3，此与题设X，y，z两两互素相矛盾，故

xP+yP=zP，xyz=0

没有正整数解。

该文已得与南开数研所胡久稔教授讨论认同，并亲自对本文整理修改，谨表谢意，为慎重起见，热切希望数学界专家及爱好者给予关注，广泛发表正反两方面评论，作者将不胜感激。