加快慢级数收敛速度的方法和案例研究

洪明理　　霍振香　王福昌

[摘要]把收敛速度较慢的级数变成另一个收敛较快的级数在数值计算中具有非常重要的实际意义。本文主要介绍三种加快慢级数收敛速度的方法，并构造案例说明它们在提高慢级数收敛速度取得的效果。这些内容可以作为课堂教学的重要补充，丰富学生的知识结构。

[关键词]级数；收敛速度；数值计算

[基金项目] 防灾科技学院高等数学教学团队基金资助项目（JT201312）

引 言

级数是牛顿和莱布尼兹微积分工作的一个重要部分。在18世纪，甚至今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的组成部分。它们是研究和计算复杂的代数函数和超越函数的最富有成效的工具[1]。很多超越函数，只有把它们表示成级数并进行微分和积分，人们才能处理它们。除了用于微积分之外，级数的主要应用在于数值计算，如计算π，e等特殊的量以及对数函数和三角函数等。但是有些级数收敛得太慢太慢，对于计算来说几乎不能使用。例如莱布尼兹在1674年得到了有名的结论：

π4=1-13+15-17+…

但是要利用该级数计算π，即使要达到阿基米德已经取得的小数点后3位的精度，也得算到100000项。这样的收敛速度对于计算来说作用不大。因此，研究如何把收敛较慢的级数变成另一个收敛较快的级数在近似计算中具有非常重要的实际意义。 本文将分别介绍加速级数收敛三种变换方法，并结合案例说明这些方法在提高慢级数收敛速度的作用。

1。Kummer变换

定理1（[4]） 已知级数∑∞n=0an和∑∞n=0cn收敛，且 ∑∞n=0cn=c，若limn→∞ancn=λ≠0，则可对∑∞n=0an

作如下线性变换：∑∞n=0an=λc+∑∞n=0（1-λcnan）an。

Kummer变换通过一个和已知的级数求其他级数的和，这种变换具有加快级数收敛的作用。

例1 利用∑∞n=01n（n+1）（n+2）=14对∑∞n=11n3进行kummer变换∑∞n=11n3=14+∑∞n=13n+2n3（n+1）（n+2）。

计算∑∞n=11n3的前100项的和为1。2020，其精度为10-4。而变换后的级数要达到同等的精度，只需计算到前50项。

kummer变换提高收敛速度的效果比较有限，在很多近似计算中往往无法满足实际的要求。

2。Euler变换

18世纪，欧拉提出了欧拉变换[3]，变换方法如下定理。

定理2 设交错级数∑∞n=0（-1）nan（an≥0）收敛，则可对其作如下的变换：

∑∞n=0（-1）nan=∑∞n=0（-1）nΔna02n+1，

其中Δna0=∑nm=0（-1）mCmnan-m，且和不变。

Euler变换在计算交错时具有明显加快交错级数收敛的作用。

例2 利用莱布尼兹定理，如果取交错级数∑∞n=0（-1）nn+1前n项的和作为级数和的近似值，余项的绝对值rn+1

变换后的级数要达到同等的精度，只需计算到Δ7。

对于一般的收敛级数∑∞n=0un，我们可以通过加括号的方法将其转化成交错级数，再进行欧拉变换。

∑∞n=0un=（u1+u2+…un1）+（un1+1+un1+2+…un2）+…（unk-1+1+unk-1+2+…unk）+…=a1+a2+…+ak+…

其中ak与ak+1（k=1，2，3，…）异号。即有∑∞n=0un=∑∞k=0（-1）kak。这时候就可以用欧拉变换

进行计算，直到前n项的和Sn=∑nk=0（-1）kΔka02k+1满足我们所需的相对精度ε，即计算到

Sn+1-SnSn<ε

为止。

3。利用函数的幂级数展开式进行变换

情形1套用函数的幂级数展开式，将数项级数的一般项表示成级数的形式，从而把该数项级数表示累级数，再通过交换求和符号的顺序加速级数收敛。

例3 对于级数∑∞k=21klnkk-1，

利用ln（1+x）的幂级数展开公式ln（1+x）=∑∞n=1（-1）n-1nxn，-1

知-xln（1-x）=∑∞n=1（-1）n-1n（-x）n+1=∑∞n=1xn+1n，-1

∑∞k=21klnkk-1=∑∞k=2-1kln（1-1k）=∑∞k=2∑∞n=11n1kn+1。

由∑∞k=21klnkk-1收敛，知∑∞k=2∑∞n=11n1kn+1收敛，从而∑∞k=2∑∞n=11n1kn+1=∑∞n=1∑∞k=21n1kn+1（[2]），因此∑∞k=21klnkk-1=∑∞n=1∑∞k=21n1kn+1=∑∞n=1ζ（n+1）-1n，其中ζ（n）=∑∞k=11kn为黎曼zeta函数。变换后的级数比原级数的收敛速度具有明显的提高。经数值计算显示：∑∞n=1ζ（n+1）-1n前10项的和为0。7885，精度为10-4。而原级数∑∞k=21klnkk-1要达到同等的精度，必须计算到2×104项。

情形2 利用函数的幂级数展开式，将收敛速度慢的级数转化为收敛速度快的级数。

例4 对级数∑∞n=1（-1）n-11n，由ln（1+x）=∑∞n=1（-1）n-1nxn，-1

从而ln1+x1-x=ln（1+x）-ln（1-x）=2x+13x3+15x5+…，-1

∑∞n=1（-1）n-11n=ln2=ln1+1[]31-1[]3=213+13133+15135+17137+…。

显然转换后的级数的收敛速度要快得多。如果取转换后的级数的前n项作为∑∞n=1（-1）n-11n的近似值，要使得误差

212n+1132n+1+12n+3132n+3+12n+5132n+5+…<14132n-1<10-4。只需n≥5。但是如果直接计算∑∞n=1（-1）n-11n的和，要达到10-4的精度，则必须计算到10000项。

[参考文献]

[1]莫里斯 克莱因著。朱学贤，申又枨，叶其孝等译。《古今数学思想》第二册。2002，p161。

[2]《数学手册》编写组，《数学手册》，高等教育出版社，1979，p189。