等可能性在概率中的运用

何玉林

概率论是用数字刻画事件发生可能性大小的数学分支，它探讨随机现象的规律性，为人们认识世界提供了重要的模式和方法。“36选7”是确定体育彩票中间号码时所采用的一种常规方法，是古典概型的一个典型例子；飞镖的命中率是几何概型的一个典型例子。这两种概型都有一个共同的特点：基本事件的发生都是等可能性的。比如，投资者在买进某种股票时，投资有增值和减值两种可能，这里不具备任何等可能性的特征。在现实的教学中不难发现，学生由于忽视事件发生的等可能性，导致概率的学习存在不少的问题。

一、古典概型中的等可能性

古典概型是一种特殊的数学模型，古典概型在概率论中只有相当重要的地位，是学习概率必不可少的内容。它有两个特征：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。一个模型只有满足这两个特征时，才能用随机事件的概率公式。

例1 同时投掷两个骰子，计算向上的点数之和是7的概率是多少？

错解1 投掷出现的点数之和一共有11种可能，分别为2，3，4，…，12，因此点数之和为7的概率为111。

剖析 如果我们以投掷出现的点数作为考察对象，则基本事件一共有11种可能，但是这里的每一种结果出现的机会不是均等的，如2出现1次，5出现4次，而7出现6次，因而以点数之和作为考察对象，它不是等可能行事件。

错解2 所有可能的结果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）共21种，和是7的结果有3个，它们是（1，6），（2，5），（3，4），所求概率为321=17。

剖析 错解中给出的21种基本事件不是等可能性发生的，需要对其进行编号，如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）是没有区别的。

正解 以两次投掷分别出现的点数作为考察对象，则基本事件由有序数对（m，n）组成，共有36种可能，它们的出现是等可能的。事件向上的点数之和是7 一共包含了（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）这6种基本事件，因此向上的点数之和是7的概率为636=16。

点评 古典概型求基本事件时，一定要从等可能性入手，对照基本事件的含义和特征进行思考，并将所有可能的基本事件一一列举出来。同时，一次实验中的“可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的。例如，甲、乙、丙、丁四名同学站成一排，求甲站在两端的概率。若从四名同学的站位来看，共有4×3×2×1=24种结果，而甲站在两端一共有12种结果，因此概率为12；若仅从甲的站位看，则结果只有四种，甲站在“1号位”，“2号位”，“3号位”，“4号位”四种结果，甲在两端有2种结果，因此概率为12。

二、几何概型中的等可能性

几何概型也是一种概率模型，在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率大小与随机事件所在区域的形状，位置无关，只与该区域的大小有关。如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度，面积，体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。

例2 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线，与线段AB交于点M，求AM

错解 记“AM

剖析 显然，点M随机地落在线段AB上，但并不是等可能的，射线CM在∠ACB内才是等可能分布的，因此需要从角度分析。若将题目条件改为在斜边上AB任取一点M，点M地落在线段AB才是等可能的，上述解法才是正确的。

正解 射线 CM在∠ACB内才是等可能分布的，在线段AB上截取AE=AC，连接CE，则∠ACE=675°，记“AM

变式 在等腰直角三角形△ABC中，C为直角顶点，在三角形内取点N，连CN交AB于点M，求AM

剖析 点N随机落在直角三角形△ABC中，并且点N等可能的落在直角三角形ABC中，记“AM

点评 上述问题都是求AM

反思 求与长度（角度）有关的几何概型的概率，首先，确认是否符合几何概型的特点。其次，把题中所表示的几何概型转化为长度（角度），然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同。求与面积有关的几何概型的概率，首先确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型，其次分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率公式求解。