数学解题方法之谈

李万河

构造函数法是数学中一种重要的解题方法，是通过对问题的观察、分析，恰当地构造函数模型来达到解题目的的方法，笔者试图通过一些典型试题的讲评，浅谈构造函数法的应用，供同行们所用。

1。构造函数法解不等式

我们知道，抽象不等式的求解一般是借助于函数的单调性完成的，根据题意巧妙地构造函数能使问题化繁为简，轻松解决。

例1 函数f（x）的定域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）>1，则不等式ex·f（x）>ex+1的解集为。

分析 exf（x）′=ex·f（x）+ex·f′（x）=ex（f（x）+f′（x））因而本问题应构造函数g（x）=ex·f（x）+ex-1，问题转化为g（x）>0即可。

解 令g（x）=exf（x）-ex-1，则g（0）=e0f（0）-e0-1=0，且

g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=exf（x）+f′（x）-1>0，因而g（x）在R上单调递增，g（x）>0=g（0），故x>0，不等式的解集为{x|x>0}。

2。构造函数法比较大小

例2 设函数f（x）是定义在[0，∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的函数a，b，若a

A。af（b）≤bf（a） B。bf（a）≤af（b）

C。af（a）≤f（b）D。bf（b）≤f（a）

分析 由xf′（x）+f（x）≤0得，理应联想到xf（x）′≤0，从而应构造函数g（x）=xf（x），由g′（x）≤0得g（x）=xf（x）在[0，∞）上单调递减，又a

观察A，B选项的结构可知，f（a）a和f（b）b的大小问题，再此联想到构造函数h（x）=f（x）x，则h′（x）=xf′（x）-f（x）x2，由xf′（x）+f（x）≤0，f（x）≥0，得

xf′（x）≤0，xf′（x）+f（x）≤0，所以h′（x）≤0，从而h（x）在[0，∞）上单调递减，又a0，b>0，故bf（a）≤af（b），选B。

本题巧妙地构造函数h（x）=f（x）x，从而利用函数的单调性比较了大小，此解法中构造函数h（x）=f（x）x是解决本题的关键。

3。构造函数法解决函数综合问题

例3 已知函数f（x）=1x-1，0

1-1x，x≥1。

（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，1）和[1，+∞）上的单调性（不必证明）。

（Ⅱ）当0

（Ⅲ）若存在实数a，b（1

求实数m的取值范围。

解 （Ⅰ）f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增。

（Ⅱ）由已知1a-1=1-1b，故1a+1b=2。

（Ⅲ）由（Ⅰ）得，f（x）在x∈[a，b]上单调递增，故f（x）∈1-1a，1-1b。

由题意得1-1a=ma，

1-1b=mb

即ma2-a+1=0（m>0），

mb2-b+1=0。

含g（x）=mx2-x+1（m>0），则a，b是g（x）的两个大于1的零点。

因而m>0，

Δ>0，

x=12m>1，

g（x）>0，

解得0

解答（Ⅲ）的关键是构造函数g（x）=mx2-x+1（m>0），从而使问题等价转化为二次函数的零点问题。

4。构造函数法解决数列问题

例4 数列{an}满足a0=13，an=1+an[]2，n=1，2，3，…

证明：数列{an}是单调数列。

分析 对数列的递推关系an=1+an[]2，变形得到a2n=1+an-12，联想到三角函数的降幂公式cos2θn=1+cos2θn2，所以不妨令an=cosθn，an-1=cos2θn=cosθn-1，考虑数列θn是公比为12 的等比数列，故有以下解法。

解 令a0=cosθ=13，且θ∈（0，π2），又an=1+an-1[]2，所以有a1=cosθ2，a2=cosθ4，a3=cosθ8，…，an=cosθ2n，

又因为0<θ2n<θ2n-1<…<θ4<θ2<θ<π2，所以cosθ2n>cosθ2n-1>…>cosθ4>cosθ2>cosθ，即 an>an-1>…>a2>a1>a0，所以数列{an}是单调递增数列。

本文通过数列说明了构造函数法在解答数学问题中的重要性，有时巧妙地构造会使得问题变得更清晰和易于处理，思维新颖独特，过程简洁直观，其难点和关键是构造，这需要实践中不断地尝试和运用才能熟练掌握。