巧设参数解几何题

张佳

[摘要]参数在几何中是比较活跃的元素，特别是在解析几何中。针对一些常见几何命题，本文从引入参数的具体途径入手，分类阐述了设参的策略与技巧。

[关键词]巧设参数；同一参数；条件参数

本文的主要设参思想就是利用参数刻画过程的变化状态，以参数为媒介揭示变量之间的内在联系，并以此来研究事物的变化规律。

一、同一参数

这类参数一般为斜率k、倾斜角θ、 定比λ。动直线过已知定点，并且不涉及动点与定点的距离时，一般选k为参数，通过k与已知定点来求出相关直线的方程，在根据条件求出动直线上动点的轨迹。

例 如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p>0）上原点以外的两动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程。

解 设直线OA的方程为y=kx，则直线OB

的方程为y=-1kx1。

设点M的坐标为（x，y），解方程组

y2=4px，y=kx。

得A点坐标为4pk2，4pk。

同理可得B点坐标为（4pk2，-4pk）。

因为A，B，M三点共线，所以4pk+4pk4pk2-4pk2=y+4pkx-4pk2。

整理，得1k-ky +4p=x。（1）

又OM⊥AB，所以4pk+4pk4pk2-4pk2·yx=-1。

整理，得k-1k=-yx。（2）

将（2）代入（1）并整理即得点M得轨迹方程为x2+y2-4px=0（x≠0）

若动点恒随又定长之动线段的运动而运动，这里的动线段过一定点时，则一般选线段的倾斜角θ 作参数，利用边角关系，引出线间的关系，然后通过给定的条件来消参，得出动点的轨迹。

二、条件参数

在立体几何中，往往会遇到许多求几何体定性规律的题目，这就需要增设一些“条件参数”来帮助解题。把问题的制约条件作为参数来引入，这是一种很有效的解题策略。因为制约变量的大小是所求问题的关键，通过问题的辖制条件自然可以得到解决问题的入口。

例 在正四棱锥P—ABCD中，已知一对角面与侧面的面积之比为6∶2，求一侧面与底面的夹角 。

分析 设底面对角线AC，BD的交点为O，

连接PO，则PO⊥平面ABCD。作OE⊥CD与E，

连接PE，则PE⊥CD，∠PEO为侧面PCD与底面

ABCD的夹角，

因为正四棱锥P—ABCD的形状大小是制约∠PEO

的条件，而BC=a，PO=h。又是制约正四棱锥P—ABCD的形状大小的条件，

所以BC=a，PO=h，又是制约∠PEO的条件，a，h就是根据制约∠PEO的条件而确定的条件参数

解 因为在△PBD中，BD=2a，高PO=h。

所以S△PBD=2ah2。

又由于在Rt△PCD中CD=a，PO=h。

PE=4h2+a22，即S△PCD=a4h2+a24。

因为 S△PBDS△PCD=2ah2a4h2+a24=62，故2h=3a。

由tg∠PEO=POOE=h12a=2ha=3aa=3。

因此∠PEO=π3。

由此可看出应用参数思想解立体几何题，其关键就在与根据求解对象的制约因素恰当的选择最为有力的条件参数。

综上所述，在利用参数解一些几何题的过程中，虽然题目的类型是多样的，但是设参的目的却只有一个。那就是将未知转化为已知，通过参数来沟通变量之间的内在联系，也就是说，通过分析来引出“巧”。这种思维方法不仅有助于开拓思路，而且可以培养探索精神。这是数学素质教育中不可缺少的。