挖掘递推数列，体现转化思想

董晖

世界是千变万化的，各种事物都在相互转化，好的可以转化为坏的；多的可以转化为少的，丑陋的可以转化为漂亮的，复杂的可以转化为简单的……

递推数列是数列的重要内容，是数学高考和竞赛的亮点，纵观近几年各地高考数学试题，“递推数列”几乎为必考题，且多以“压轴题”的姿态出现。数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推数列反映的是数列的本质特征，具有很强的逻辑性，是学习逻辑推理和化归能力的好素材，也是数学教学中渗透数学思想方法的好载体。

数学中的转化思想在学习过程中应用非常普遍。解决许多问题实际上都是在转化，将问题由难转易，由陌生转熟悉，从而使问题得到解决。

例1 已知数列{an}满足an=2an-1+3且a1=1，求数列{an}的通项公式。

解 方法1（递推法）：an=2an-1+3=2（2an-2+3）+3=222an-3+3+3+3=……=2n-1+3（1+2+22+…+2n-2）=1+32-1·2n-1+31-2=2n+1-3。

方法2（构造法）：设an+1+μ=2an+μ，即μ=3，∴数列an+3是以a1+3=4为首项、2为公比的等比数列，则an+3=4·2n-1=2n+1，即an=2n+1-3。

例1不论是递推法还是构造法，都是把递推关系转化为等比数列问题，才能使问题顺利解决。

例2 已知a1=1，an=an-1+n，求an。

解 方法1（递推法）：an=an-1+n=an-2+（n-1）+n=an-3+（n-2）+（n-1）+n=

……=a1+[2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]=∑ni=1n=n（n+1）2。

方法2（累加法）：an-an-1=n，依次类推有：an-1-an-2=n-1、an-2-an-3=n-2、…、a2-a1=2，将各式叠加并整理得an-a1=∑ni=2n，an=a1+∑ni=2n=∑ni=1n=n（n+1）2。

例1不论是递推法还是累加法，只有把递推关系转化为等差数列问题，题目的问题就不难了。例3 已知a1=1，an=-an-1+2n-1，求an。

解 设an2n+μ=λan-12n-1+μ，则2λ=-1μλ-12n=2n-1，解得λ=-12μ=-13，∴an2n-13是以12-13=16为首项，12为公比的等比数列，即an2n-13=16·12n-1，∴an=2n+13。

例3是通过待定系数法把递推关系转化为等比数列问题，问题才会迎刃而解。

例4 已知a1=10，an+1=an2，求an。

解 对递推式an+1=an2左右两边分别取对数得lgan+1=2lgan，令lgan=bn，则bn+1=2bn，即数列{bn}是以b1=lg10=1为首项，2为公比的等比数列，即bn=2n-1，因而得an=10bn=102n-1。

例4 对递推式两边取对数，这样一来，问题就可以转化成等比数列进行求解了。

例5 已知a1=4，an+1=2·an2an+1，求an。

解 对递推式左右两边取倒数得1an+1=2an+12an。

即1an+1=12·1an+1，

令1an=bn，则bn+1=12bn+1。设bn+1+μ=12（bn+μ），即μ=-2，∴数列{bn-2}是以b1-2=2为首项、2为公比的等比数列，则bn-2=2·2n-1=2n，即bn=2n+2，∴an=12n+2。

例4对递推式两边取倒数，通过待定系数法，问题就可以转化成等比数列进行求解了。

人为的转化总是朝着进步的方向，递推数列的应用问题求解，主要是运用转化思想把问题的解决方向更加明确，转化为两类基本数列（等差数列、等比数列）的问题来求解，最后取得成功，其中的喜悦感油然而生。