浅析高斯函数在高考数学中的应用

向东

[摘要]最近几年高考命题者为了创设新颖的问题情境，考查学生知识迁移能力、临场应变能力、创新能力，很多命题者都把目光投向了高斯函数，将高等数学里面的高斯函数作为信息题出在高考试卷上，一般都出现在选择题或者填空题的最后几题中，颇具难度，本文旨在介绍高斯函数的一些基本性质，通过对一些高考题的讲解让大家接触高斯函数，感受高斯函数的魅力，帮助广大师生备战高考。

[关键词]高斯函数；高考；应用

一、基础知识

（一）定 义

设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数（如1=1，2。1=2，-1。6=-2）。则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数。

（二）性 质

1。y=[x]的定义域是R，值域是Z。

2。对任意实数x∈R，都有[x]≤x<[x]+1。

3。对任意实数x∈R，k∈Z，都有x+k=[x]+k。

二、例题鉴赏

例1 （2010年陕西卷理科第10题）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）。

A。y=x10 B。y=x+310

C。y=x+410D。y=x+510

分析 本题的关键在于取整问题的处理，由于此题是选择题，故可优先考虑特殊值法

解 方法1——特殊值法：若x=16，y=1，可排除C，D，若x=17，y=2，可排除A，故选B。

方法2——直接法：设x=10m+n（0≤n≤9），

当0≤n≤6时，x+310=m+n+310=m=x10，

当6

点评 本题围绕取整函数的表达式来进行处理，我们在做选择题的时候可以灵活的选择用特殊值法或者直接法来处理。

例2 （2013年陕西卷理科第10题）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有（ ）。

A。[-x]=-[x]B。[2x]=2[x]

C。x+y≤[x]+[y]D。x-y≤[x]-[y]

分析 此题采用特殊值法就很容易得出答案。

解 令x=1。6，则-1。6=-2，-1。6=-1，3。2=3，21。6=2，排除A，B。

令x=y=1。6，则3。2=3，1。6+1。6=2，3>2，排除C，故答案选D。

点评 此题虽然由高斯函数的定义出发考察其一些性质，但是由于是选择题，所以我们可以用特殊值法快速的得到正确答案

三、方法归纳

与高斯函数有关的题目都比较灵活，而且技巧性比较强，在解决高斯函数有关的问题的时候，其中比较常见的解题方法有：

1。充分利用高斯函数的定义，从定义出发来尝试解决问题，根据高斯函数的定义，我们就会发现其实与高斯函数有关的问题，因为在不同的区间取整之后结果不一样，所以最终都会归结到区间讨论上面来。

2。潜意识的利用高斯函数的三条性质，特别是性质（2）、（3），因为这两条性质都是直接从定义得出来的，所以我们可以把性质（2）、（3）当做推论来用，利用这个性质工具来处理问题，常常能够得到意想不到的结果。

3。特殊值法，利用特殊值法来解决高斯问题异常方便，在使用的时候结合估值法，比如说例2就可以用这种方法来做，优点是简单、方便、快捷，高考是知识、能力与技巧的较量，在有限的时间内，时间决定成败，在高考有限的时间内利用特殊值法能够快速的选择出正确的答案，为做其他题目留出了宝贵的时间。

四、总 结

从上面几个高考例题来看，我们不难发现与高斯函数有关的高考命题主要是考察其基本性质，或者稍微的变形延伸一下，显然我们在学习高斯函数的时候不能死记结论，应该从本质上去理解它，并且更加深入的挖掘其性质，最后达到举一反三。虽然高斯函数是高等数学里面的内容，有一定的难度，但是把它作为中等或偏下难度的信息题放到高考中也是一种新颖的考察方式，考生在解题中常需要结合分类讨论、转化、化归等数学思想，同时考察了高中生的临场应变能力、创新能力，在高考场上大家都是平等的，这符合新课程标准。

[参考文献]

[1]蔡明。活跃在高中的高斯函数[J]。中学教研（数学），2013，（05）。

[2]董永春。与高斯函数有关的高考压轴题[J]。数学通讯，2012，（11）。

[3]天利全国高考命题研究中心。2009-2013最新五年高考真题汇编详解[M]。拉萨：西藏人民出版社，2013。

[4]天利全国高考命题研究中心。2011-2015最新五年高考真题汇编详解[M]。拉萨：西藏人民出版社，2015。