一道课本习题的多种解法

李红叶　郑杰

学数学离不开解题，教师应深入挖掘教材，通过课本习题教学，使学生认识教材，重视教材，深刻领会编者的意图，发挥课本习题的教育功能。笔者在教学中发现这样一道好题，并对该题给出多种解法，供参考。

题目 （人教版，选修4—5，26页6题）已知f（x）=1+x2，a≠b，求证|f（a）-f（b）|<|a-b|。

证法一（分析法）：含有分式、无理式、绝对值式、对数式的不等式一般适用于分析法。

要证明|1+a2-1+b2|<|a-b|，

只需证明（1+a2）+（1+b2）-2（1+a2）·（1+b2）

既证明1+ab<（1+a2）·（1+b2）。

①当1+ab≤0时，结论显然成立。

②当1+ab>0时，只需证明：

1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2。

既证明2ab

以上各步均可逆，所以原不等式成立。

证法二（综合法）：

∵a≠b，f（x）=1+x2，

∴|1+a2-1+b2|=|a2-b2|1+a2+1+b2

<|a-b|·|a+b||a|+|b|

<|a-b|·（|a|+|b|）|a|+|b|=|a-b|。

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

证法三（比商法）：比较法分为比差法和比商法，含有绝对值式的、含有指数式的适用于比商法。

∵a≠b，f（x）=1+x2

仿照证法二可得|1+a2-1+b2||a-b|=|a2-b2||a-b|·（1+a2+1+b2）

<|a+b||a|+|b|≤1。

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

证法四（几何代换法）：能够表示成“两点间距离P1P2=（x2-x1）2+（y2-y1）2”公式、“点到直线距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2公式”、“两点斜率k=y2-y1x2-x1公式”形式的问题，适用于几何代换法、解析法。

令点A（1，a），B（1，b），O（0，0），

∵a≠b，则A、B、C三点构成三角形，

所以||OA|-|OB||<|AB|，

∴|1+a2-1+b2|<|a-b|，

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

证法五（解析法）

∵y=1+x2y2-x2=1，（y>0）表示等轴双曲线的上支，

而f（a）-f（b）a-b表示该双曲线上两点A（1，a），B（1，b）连线的斜率。

而该双曲线的两渐近线的斜率为-1和1，（如图）

∴f（a）-f（b）a-b<1，

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

证法六（复数代换法）：能够表示成“两点间距离P1P2=（x2-x1）2+（y2-y1）2公式”（复数的模）形式的问题，适用于复数代换法。

令z1=1+ai，z2=1+bi，a≠b，（a，b为实数）。

则||z1|-|z2||<|z1-z2|，

∴|1+a2-1+b2|<|a-b|，

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|。

证法七（三角换元法）：借助正弦函数、余弦函数的有界性解决问题。

令a=tanα，b=tanβ，α，β∈（-π2，π2）且α≠β，

则1+tan2α=secα=1cosα，1+tan2β=secβ=1cosβ。

问题变为证明1cosα-1cosβ

采用分析证明，只需证明1-1cosαcosβ<-tanαtanβ，

即证明cosαcosβ+sinαsinβ<1。

即cos（α-β）<1，显然成立。

证法八（构造法）构造函数，利用函数的单调性解决问题。

①不妨令a>b>0，g（x）=1+x2-x，x∈（0，+∞），

则g′（x）=x1+x2-1=x-1+x21+x2<0。

∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，

∴1+a2-a<1+b2-b，

即1+a2-1+b2

②同理可证b

③当b<0

综上|1+a2-1+b2|<|a-b|成立。

教材中这样的题目还有很多，限于篇幅仅举此例。