初等函数及其连续性 初等函数及其连续性

柴英明

[摘要]本文试图解决这两个问题：一方面，初等函数的确切定义是什么；另一方面，初等函数在其定义域内还是其定义区间上连续。

[关键词]初等函数；四则运算；复合运算

1 引 言

在《数学分析》和《高等数学》里都会提到初等函数，初等函数是一个使用频率很高的概念，很多学者对它进行研究。但这些研究多数只关注初等函数的形式而没有涉及初等函数的实质，就是到底什么是初等函数没有说清楚。本文从基本初等函数出发，严格讨论函数相等与函数运算，给出初等函数的确切定义。初等函数的连续性也是研究比较多的一个内容，主要分歧是在初等函数在其定义域内还是其定义区间上连续。我们在给出初等函数确切定义后，再重新讨论初等函数的连续性。

常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这六类函数称作基本初等函数。它们在其定义域内都是连续的。这里我们强调：根据函数相等，函数定义域、对应法则都相同函数才相等，所以函数的一部分与原来函数不是同一函数，即基本初等函数的一部分不是基本初等函数。对于“什么是初等函数？”则有点复杂。为了把它说清楚，我们首先从函数的四则运算与复合运算的定义说起。函数的四则运算与复合运算可分为两种情况讨论，即，严格的和广义的。为了叙述方便，记函数y=f（x）的定义域为Df，值域为Rf。

2 严格的四则运算与严格的复合运算

一般《数学分析》里定义的函数的四则运算和复合运算，我们这里把它称为严格的四则运算与严格的复合运算。

定义2。1（严格的函数的四则运算） 设函数y=f（x）与y=g（x）的定义域相同，则y=f（x）与y=g（x）的和、差、积、商分别为f（x）+g（x）、 f（x）-g（x）、 f（x）·g（x）、f（x）g（x）（g（x）≠0）。

定义2。2（严格的函数的复合运算） 设y=f（x）的定义域包含函数y=g（x）的值域，则称

y=f[g（x）]

为f与g的复合函数，记作f°g。 对于复合函数y=f[g（x）]也可以写成y=f（u），u=g（x），其中u叫作中间变量。

通常的初等函数的定义如下。

定义2。3 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而成的函数，叫作初等函数。

3 广义的四则运算与广义的复合运算

一般《高等数学》里使用的函数的四则运算和复合运算，我们这里把它称为广义的四则运算与广义的复合运算。

定义3。1（广义的函数的四则运算） 若函数y=f（x）与y=g（x）的定义域不同，但A=Df∩Dg≠，那么将限制在A上的y=f（x）与y=g（x）的四则运算称为广义的四则运算。即f（x）+g（x）定义为f（x）+g（x），（x∈A）。

定义3。2（广义的函数的复合运算） 若y=g（x）的值域Rg不含在y=f（x）的定义域Df里，但Rg∩Df≠，不妨记B={x|g（x）∈Rg∩Df}，那么将限制在B上的y=f（x）与y=g（x）的复合运算称为广义的复合运算。即f°g（x）定义为y=f（x）与y=g（x），（x∈B）的复合。

定义3。3 由基本初等函数经过有限次广义的四则运算和有限次广义的复合而成的函数，叫作初等函数。

按此定义y=lnx就是初等函数，它是y=x和y=lnx广义复合而成。

接下来我们约定初等函数就是指按定义3。3定义的函数。下面讨论初等函数的连续性。

4 初等函数连续性

首先，不论是在《数学分析》还是在《高等数学》里都有经典的结论，连续函数按照严格的四则运算与严格的复合运算都是连续的。

定理4。1 如果f（x）和g（x）都在点x0处连续，则它们严格的和f（x）+g（x）、差f（x）-g（x）、积f（x）g（x）、商f（x）[]g（x）（g（x）≠0）在点x0处连续。

定理4。2 如果函数u=φ（x）在点x0处连续，且u0=φ（x0），而函数y=f（u）在点u0连续，则严格复合函数y=[φ（x）]在点x0处连续。

其次，我们指出连续函数按照广义的四则运算与广义的复合运算也是连续的。

定理4。3 如果f（x）和g（x）都在点x0处连续，则它们广义的和、差、积、商在点x0处连续。

证明：如果f（x）和g（x）都在点x0处连续，则x0∈Df且x0∈Dg，即x0∈Df*g，其中*代表广义的和、差、积、商。再根据定理4。1，f*g在x0处连续。

定理4。4 如果函数u=φ（x）在点x0连续，且u0=φ（x0），而函数y=f（u）在点u0连续，则广义复合函数y=[φ（x）]在点x0连续。

证明：如果函数u=φ（x）在点x0连续，且u0=φ（x0），而函数y=f（u）在点u0连续，则x0∈Df°g，其中复合°代表广义的复合。再根据定理4。2，f°g在x0处连续。

根据定理4。3、4。4，我们得到初等函数在其定义域内都是连续的。但初等函数的定义域可能是一些孤立点，比如：y=cosx-1是初等函数，它的定义域是一些孤立点x=2kπ，k∈Z。从拓扑学的角度看，这不影响连续性，但很多《高等数学》包括《数学分析》都没有定义孤立点的连续性。由此，我们只强调初等函数在它们的定义区间内是连续的。

定理4。5 初等函数在它们的定义区间内是连续的。

因为符号函数y=sgnx=1，0，-1， x>0，x=0，x<0，在定义区间内不连续，所以符号函数不是初等函数。但这不表示分段函数都不是初等函数，绝对值函数y=|x|=x，-x， x≥0，x<0，可以由y=u，u=x2复合得到，故绝对值函数是初等函数。