浅谈换元法的应用及应用中常见问题

杨慧春

[摘要]换元法在中学的应用是非常广泛的，巧妙、恰当的在解题中适用换元法，使解题变得简洁方便；在使用换元法也存一些问题，要认清问题正确使用换元法。

[关键词]换元法；换元法的应用；换元法应用中常见问题

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，使用恰当技巧方法把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者把陌生的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证进行简化。

换元法的实质就是转化，通过引进新变量去代换原问题变量的形式，让问题从形式、解题思路得到简化的一种解题方法。换元法的解题步骤为：设元、换元、求解、回代以及检验。

1 换元法在解题中的应用

1。1 换元法求值域（最值）问题

在求最值问题时，有的函数没有显著的特点，为了解决这些问题美酒需要适当利用换元法，找到题中的隐含条件，使得新元解题更加简捷方便。

题1 求函数y=x-3+5-x的取值范围。

解 因为（x-3）+（5-x）=2，所以令x-3=2cos2α，5-x=2sin2α（α∈R）。

y=2cosα+2sinα，令α∈0，π2，则y=2cosα+2sinα。

y=2sinα+π4，因为sinα+π4∈[-1，1]，所以y∈[-2，2]。

1。2 换元法解方程（方程组）问题

解方程式是中学数学的一种基本题型，是解答复合题型中关键一步。特别是在解高次方程时，需要利用换元法对原式进行降次，变形成为熟悉的一次、二次方程，使解答变得简单。

题2 解方程x4+2x2+1x2+x2+1x=6。

解 （x2+1）2x2+x2+1x=6，令x2+1x=t。

原方程变形为：t2+t=6，（t+3）（t-2）=0，t1=-3，t2=2，所以x2+1x=-3或x2+1x=2。

解得x1=-3-52，x2=-3+52，x3=1。

1。3 换元法解决不等式问题

中学的数学学习中，不等式是一类基础性的题型，不等式变化灵活在解题是要注意观察，换元法的应用，使得形式复杂的不等式得到简化，条件问题的关系变得简单明了，不等式的解答或证明变得更加明朗化，问题得到解决。

题3 已知（x-1）24+（y+1）29=1，而k

解 设x-12=sinα，y+13=cosα，所以x=2sinα+1，y=3cosα-1。即k<2sinα+3cosα恒成立。

2sinα+3cosα=13sin（α+β），其最小值是-13。

故得k<-13。

以上是利用换元法处理不同类型的问题，问题不是很难，往往是形式比较复杂，利用换元法对问题进行适当的处理，使得问题之间的关系变得更加清晰。虽然恰当使用换元法能够达到化繁为简、化难为易的作用，但是若是在转化中不注重等价性，就会出现不易发觉的错误。

2 换元法解题中常见的错误

2。1 代换后忽视新变量的取值范围

题4 已知x∈R+，求y=x+9x+1x+9x的最小值。

错解 令t=x+9x，∵x∈R+，∴t>0。

y=t+1t≥2t1t=2，当且仅当t=1t取得等号，即t2=1，∴t>0，t=1，即∵x∈R+，∴t>0x+9x=1，此方程无解。∴y没有最小值。

分析 在上面的解法中，因为忽略了代换后新变量的取值范围，导致解题错误。在代换时一定要考虑到带换的等价性。注意到t=x+9x，∵x∈R+，∴x+9x≥2x9x=6，即t≥6即可。

题5 已知x1-y2+y1-x2=1，求32x+12y的最值。

错解 因为x≤1，y≤1，所以令x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π）。

则cosαcosα+sinαsinα=1，两边平方得sin2α=0，∴α=kπ2（k∈z）。

从而32x+12y=32cosα+12sinα=sinα+π3=sinkπ2+π3（k∈Z）。

32x+12y的最大值32，最小值-32。

分析 代换时考虑不够完全，只考虑到变量的范围，却没考虑到代换的合理性。上面的代换实际上是不合理的，因为无形中增加了变量的限定条件x2+y2=1，这当然很难得到正确的答案。其中令x=cosα，y=sinβ，α，β∈0，π2可求解。

3 结 语

通过前面的举例说明，可以看出换元法在解题中应用可以使得解题变得简单方便，在学习以及教学中我们要注意培养学生恰当使用换元法。在使用换元法带来的便捷的同时，我们也要注意到，在对换元法概念理解不清，换元过程中常常会导致转化的不等价性，使得做题出错。通过本文，希望对中学学习和教学起到一定的作用。