正余弦定理在近几年高考解题中的应用

王春萍

[摘要]新课程标准在贵州实施以后，从课改后的人教版教材及课标要求来看，课改以后的教学，更注重学生基础知识的掌握和基本技能的应用，通过对近三年高考题的分析，可以发现正余弦定理在高考题中，以简单题的形式出现，题目更加注重学生对知识的应用。

[关键词]新课改；高考；应用

2010年普通高中新课程标准在贵州实行，《普通高中数学课程标准（实验稿）》中对解三角形的要求是该课程需要8课时，在内容上要求（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和计算有关的实际问题。解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，而不必在恒等变形上做过于繁琐的训练。

《2015年全国新课标高考文（理）科数学考试大纲》中对该部分的解释是在内容上掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。在应用上，能够运用正弦定理，余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

一、正余弦定理基本内容

正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（外接圆直径）。

正弦定理的变式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。

a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC。

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。

若用三边表示角，余弦定理可以写为

cosA=b2+c2-a22bc；cosB=a2+c2-b22ac；

cosC=a2+b2-c22ab。

二、高考真题

例1 [2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T4]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=π6，C=π4，则△ABC的面积为（ ）。

A。23+2 B。3+1 C。23-2 D。3-1

解析 选B。因为B=π6，C=π4，所以A=7π12。由正弦定理得bsinπ6=csinπ4，解得c=22。所以三角形的面积为12bcsinA=12×2×22sin7π12。

因为sin7π12=sinπ3+π4=32×22+22×12=2232+12，所以12bcsinA=22×2232+12=3+1，选B。

例2 [2014年全国新课标Ⅱ（理04）]钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=（ ）。

A。5 B。5 C。2 D。1

解析 ∵S△ABC=12acsinB=12·2·1·sinB=12，∴sinB=22，∴B=π4，或3π4。当B=π4时，经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。∴B=3π4，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，解得b=5。故选B。

例3 [2015高考新课标2，理17]△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍。

（Ⅰ） 求sin∠Bsin∠C；

（Ⅱ）若AD=1，DC=22，求BD和AC的长。

解析 （Ⅰ）S△ABD=12AB·ADsin∠BAD，S△ADC=12AC·ADsin∠CAD，因为S△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC。由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=ACAB=12。

（Ⅱ）因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2。在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC。AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6。由（Ⅰ）知AB=2AC，所以AC=1。

正余弦定理是高考的重要知识点之一，从新课标实行至今，贵州省已经有三届高考学生是用的新课标2卷，根据这三年的出题形式来看，新课标2卷每年的有相应的考题出现，通过这些高考题的分析，对于正余弦定理，直接考定理应用的题不多。大多数试题主要考查定理变形的应用。

[参考文献]

[1]杭美燕。高考中正余弦定理的应用及其分类[J]。数理化解题研究，2013（3）。

[2]张银华。正余弦定理的运用例析[J]。理科考试研究（高中版），2014（5）。