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浅析函数与数列的极限概念

2016-05-14吕贵臣钟坚敏罗中函宋江敏

数学学习与研究 2016年5期
关键词:语言

吕贵臣 钟坚敏 罗中函 宋江敏

[摘要]:极限理论是微积分学的基础理论,掌握极限理论是学好数学分析和高等数学的基础。为更好地理解函数与数列的极限概念,本文基于分辨率的语言来解析微积分学中的数列和函数极限的概念。

[关键词]函数和数列的极限;ε-N语言; ε-δ语言

[课题项目]重庆理工大学教学改革研究项目(2014YB17);重庆理工大学科研启动基金项目资助(2012ZD37);重庆市科委前沿与应用基础研究项目资助(cstc2014jcyjA00023);重庆市教委科学技术研究项目资助(KJ1400937)。

1 引 言

牛顿与莱布尼茨分别独立创立了微积分,在当时解决了许多非常困难和复杂的问题,然而它的理论基础并不完善,直至贝克莱悖论的提出,导致了数学史上的第二次数学危机。此后,数学家们投入到了分析严格化的研究中,此时,Cauchy提出极限理论,随后,Weierstrass又给出了更为严格的ε-δ语言,奠定了微积分学的基础。

2 “分辨率语言”与数列极限的ε-N定义

陈景润院士在一次报告中,形象地说明了数列极限的ε-N语言,这里我们将对陈先生的思想做一点拓广和应用,来详细地说数列极限的定义。

例1 (截杖问题)在《庄子-天下篇》中,庄周引用了梁国宰相惠施一句话: 一尺之棰,日取其半,万世不竭。

这句话蕴含了极限的思想,其意思是一根长一尺的木棒,每天截下一半,永远也截取不完。

那么翻译成数学的语言就是,一根长为一尺的木棒,每天截取一半,这样我们就得到了如下数列:12,122,…12n…,通过观察我们发现当n→+∞,12n→0,此时,我们就把0称为数列12n的极限。这种定义只是描述性定义。

为了从数学上更严格地定义它,我们做一个理想实验,我们具体来操作一下如何截取木棒的过程:今天截下一半,剩余12,明天截下一半,剩余122…,按照这种过程,我们截取到了(假如说)20天,木棒“没有”了,这里的“没有”是什么意思呢? 我们用肉眼看,看不到了或者说分辨不出来了,如果换成显微镜,我们会发现,又可以看见了,这样我们可以继续操作,由于显微镜的分辨率也是有限的,所以总存在一天(假比说是第100天),我们又看不见了。因此,这就需要更高倍的显微镜了,… 这样,我们可以将这种过程持续下去,得到:

任意给定分辨率(ε>0),总存在时刻(N),使得该时刻之后(n>N),无法分辨12n-0<ε。 这样,我们就利用了分辨率的语言,描述了数列极限的ε-N定义,这种思想我们不妨称为是“分辨率语言”。

3 “分辨率语言”与函数极限的ε-δ定义

下面,我们将从分辨率的语言,来说明这个函数极限的ε-δ定义,为了更好地理解,我们从下面的一个例子进行阐述。

例2 考察函数f(x)=x+1,分析当x越来越接近于1时,函数f(x)的变化规律,如果x无限接近于1时,f(x)如何变化?

借助于几何图形,易知x→1,f(x)→2,即2是函数f(x)的极限。为了更好地利用ε-δ义来说明,我们做如下的理想实验:

假设有两只蚂蚁沿着轨迹f(x)爬行,现在从某一时刻,蚂蚁甲从左边朝x=1运动,蚂蚁乙从右边朝x=1运动,很明显,在点(1,2)处,二者相遇。若用肉眼观察,甲在x1,乙在x2时刻,使得此刻后,感觉它们相遇了,然而,事实上它们之间存在距离,只是超出肉眼的观测范围。若换成显微镜观测,又可以看到他们之间存在距离,随着时间的延续,甲在x3,乙在x4时刻,此刻后,看上去二者又相遇了……,这个过程可以一直持续下去。 这样,我们就得到了

limx→1f(x)=2ε>0,X1,X2,x∈(X1,X2)/{1},

|f(x)-2|<ε。

然而,按照这种叙述方式,显然比描述性的极限定义前进了一步,然而我们如此表示一方面是不美观,另一方面也无法体现出蚂蚁们与x=1的接近程度,我们在(X1,X2)/{1}内取一个x=1的去心邻域U°(1,δ)(X1,X2)/{1}(我们用δ来体现存在的时刻),进而定义描述成

limx→1f(x)=2ε>0,δ>0,x∈U°(1,δ),

|f(x)-2|<ε。

就是标准的ε-δ定义。

3 总 结

极限理论是微积分学中一个抽象概念,比较难理解,学生在掌握的时候总是感觉无从着手。本文给予一套“分辨率的语言”来更好地理解极限理论的ε-N定义和ε-δ定义,有助于学生对极限概念的进一步理解。

[参考文献]

[1]华东师范大学数学系编。数学分析,第四版[M]。北京:高等教育出版社,2010(7)。

[2]司清亮,从数学发展史中理解极限理论[J]。焦作师范高等专科学校学报,2008(24):70-71。

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