浅析函数与数列的极限概念

吕贵臣　钟坚敏　罗中函　宋江敏

[摘要]：极限理论是微积分学的基础理论，掌握极限理论是学好数学分析和高等数学的基础。为更好地理解函数与数列的极限概念，本文基于分辨率的语言来解析微积分学中的数列和函数极限的概念。

[关键词]函数和数列的极限；ε-N语言； ε-δ语言

[课题项目]重庆理工大学教学改革研究项目（2014YB17）；重庆理工大学科研启动基金项目资助（2012ZD37）；重庆市科委前沿与应用基础研究项目资助（cstc2014jcyjA00023）；重庆市教委科学技术研究项目资助（KJ1400937）。

1 引 言

牛顿与莱布尼茨分别独立创立了微积分，在当时解决了许多非常困难和复杂的问题，然而它的理论基础并不完善，直至贝克莱悖论的提出，导致了数学史上的第二次数学危机。此后，数学家们投入到了分析严格化的研究中，此时，Cauchy提出极限理论，随后，Weierstrass又给出了更为严格的ε-δ语言，奠定了微积分学的基础。

2 “分辨率语言”与数列极限的ε-N定义

陈景润院士在一次报告中，形象地说明了数列极限的ε-N语言，这里我们将对陈先生的思想做一点拓广和应用，来详细地说数列极限的定义。

例1 （截杖问题）在《庄子-天下篇》中，庄周引用了梁国宰相惠施一句话： 一尺之棰，日取其半，万世不竭。

这句话蕴含了极限的思想，其意思是一根长一尺的木棒，每天截下一半，永远也截取不完。

那么翻译成数学的语言就是，一根长为一尺的木棒，每天截取一半，这样我们就得到了如下数列：12，122，…12n…，通过观察我们发现当n→+∞，12n→0，此时，我们就把0称为数列12n的极限。这种定义只是描述性定义。

为了从数学上更严格地定义它，我们做一个理想实验，我们具体来操作一下如何截取木棒的过程：今天截下一半，剩余12，明天截下一半，剩余122…，按照这种过程，我们截取到了（假如说）20天，木棒“没有”了，这里的“没有”是什么意思呢？ 我们用肉眼看，看不到了或者说分辨不出来了，如果换成显微镜，我们会发现，又可以看见了，这样我们可以继续操作，由于显微镜的分辨率也是有限的，所以总存在一天（假比说是第100天），我们又看不见了。因此，这就需要更高倍的显微镜了，… 这样，我们可以将这种过程持续下去，得到：

任意给定分辨率（ε>0），总存在时刻（N），使得该时刻之后（n>N），无法分辨12n-0<ε。 这样，我们就利用了分辨率的语言，描述了数列极限的ε-N定义，这种思想我们不妨称为是“分辨率语言”。

3 “分辨率语言”与函数极限的ε-δ定义

下面，我们将从分辨率的语言，来说明这个函数极限的ε-δ定义，为了更好地理解，我们从下面的一个例子进行阐述。

例2 考察函数f（x）=x+1，分析当x越来越接近于1时，函数f（x）的变化规律，如果x无限接近于1时，f（x）如何变化？

借助于几何图形，易知x→1，f（x）→2，即2是函数f（x）的极限。为了更好地利用ε-δ义来说明，我们做如下的理想实验：

假设有两只蚂蚁沿着轨迹f（x）爬行，现在从某一时刻，蚂蚁甲从左边朝x=1运动，蚂蚁乙从右边朝x=1运动，很明显，在点（1，2）处，二者相遇。若用肉眼观察，甲在x1，乙在x2时刻，使得此刻后，感觉它们相遇了，然而，事实上它们之间存在距离，只是超出肉眼的观测范围。若换成显微镜观测，又可以看到他们之间存在距离，随着时间的延续，甲在x3，乙在x4时刻，此刻后，看上去二者又相遇了……，这个过程可以一直持续下去。 这样，我们就得到了

limx→1f（x）=2ε>0，X1，X2，x∈（X1，X2）/{1}，

|f（x）-2|<ε。

然而，按照这种叙述方式，显然比描述性的极限定义前进了一步，然而我们如此表示一方面是不美观，另一方面也无法体现出蚂蚁们与x=1的接近程度，我们在（X1，X2）/{1}内取一个x=1的去心邻域U°（1，δ）（X1，X2）/{1}（我们用δ来体现存在的时刻），进而定义描述成

limx→1f（x）=2ε>0，δ>0，x∈U°（1，δ），

|f（x）-2|<ε。

就是标准的ε-δ定义。

3 总 结

极限理论是微积分学中一个抽象概念，比较难理解，学生在掌握的时候总是感觉无从着手。本文给予一套“分辨率的语言”来更好地理解极限理论的ε-N定义和ε-δ定义，有助于学生对极限概念的进一步理解。

[参考文献]

[1]华东师范大学数学系编。数学分析，第四版[M]。北京：高等教育出版社，2010（7）。

[2]司清亮，从数学发展史中理解极限理论[J]。焦作师范高等专科学校学报，2008（24）：70-71。