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导数和积分综合应用的一个例析

2016-05-14杨明珠

数学学习与研究 2016年5期
关键词:中国人民大学出版社例析高等教育出版社

杨明珠

例 求函数y=x3-x2-x+1与x轴所围或图形的面积。

解析 (1)作函数f(x)=x3―x2―x+1的图形,

f′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),

f″(x)=6x-2=2(3x-1)。

令f′(x)=0,得x=-1[]3和x=1。

令f″(x)=0,得x=1[]3。

x-1,-1[]3

-1[]3

-1[]3,1[]3

1[]3

1[]3,1[]1[]

(1,+∞)

f′(x)

+

0

-

-

-

0

+

f″(x)

-

-

-

0

+

+

+

极大

拐点

极小

当x→+∞时 y→+∞ 当x→-∞ y→-∞

得f-1[]3=32[]27,f1[]3=16[]27,f(1)=0。

从而得函数y=x3―x2―x+1图形上的三个点

-1[]3,32[]27,1[]3,16[]27,(1,0)。

画出函数y=x3―x2―x+1的图形如下:

(2)求函数y=x3―x2―x+1与x轴所围图形的面积

S=∫1-1(x3-x2-x+1)dx

=∫1-1x3dx-∫1-1x2dx-∫1-1xdx+∫1-1dx

=-2∫10x2dx+∫1-1dx=-2[]3+2=4[]3。

[参考文献]

[1]同济大学数学系。高等数学[M]。北京:高等教育出版社,2014。7。

[2]吴赣昌。微积分[M]。北京:中国人民大学出版社,2011。4。

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