导数和积分综合应用的一个例析
2016-05-14杨明珠
数学学习与研究 2016年5期
杨明珠
例 求函数y=x3-x2-x+1与x轴所围或图形的面积。
解析 (1)作函数f(x)=x3―x2―x+1的图形,
f′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),
f″(x)=6x-2=2(3x-1)。
令f′(x)=0,得x=-1[]3和x=1。
令f″(x)=0,得x=1[]3。
x-1,-1[]3
-1[]3
-1[]3,1[]3
1[]3
1[]3,1[]1[]
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
-
-
0
+
f″(x)
-
-
-
0
+
+
+
极大
拐点
极小
当x→+∞时 y→+∞ 当x→-∞ y→-∞
得f-1[]3=32[]27,f1[]3=16[]27,f(1)=0。
从而得函数y=x3―x2―x+1图形上的三个点
-1[]3,32[]27,1[]3,16[]27,(1,0)。
画出函数y=x3―x2―x+1的图形如下:
(2)求函数y=x3―x2―x+1与x轴所围图形的面积
S=∫1-1(x3-x2-x+1)dx
=∫1-1x3dx-∫1-1x2dx-∫1-1xdx+∫1-1dx
=-2∫10x2dx+∫1-1dx=-2[]3+2=4[]3。
[参考文献]
[1]同济大学数学系。高等数学[M]。北京:高等教育出版社,2014。7。
[2]吴赣昌。微积分[M]。北京:中国人民大学出版社,2011。4。