利用函数的性质划分矩阵

杜先云 任秋道

[摘要]对事物进行分类是重要的数学方法。本文不利用等价关系对矩阵进行分类，而利用函数的性质对矩阵直接进行划分。

[关键词]划分；矩阵；函数

[基金项目]四川省教育厅自然科学基金（12114931）的资助。

一、引 入

分类方法是研究事物性质的重要方法。如何对事物进行分类？通常利用事物之间的等价关系来分类：要求同类事物之间具有自反性质、对称性质和传递性质。然而我们验证某些事物之间具有传递性质往往比较困难，因此采用直接对事物进行分类。引入划分的定义如下：

定义1 设U为非空集合，U的子集族π是由U的子集构成的集合，满足条件：（ⅰ）空集不属于π；（ⅱ）x，y∈π，当x≠y时，x∩y=；（ⅲ）∪π=U，则称π是U的一个划分，称π中的元素为U的划分块。

我们利用等价关系对集合U进行分类——等价类，而集合U的划分与集合U的等价关系有一一对应关系。一般《高等代数》教材，只涉及了矩阵的等价关系，而没有对矩阵进行分类。然而对事物进行分类是重要的数学方法。本文，我们不使用等价关系，利用函数的性质对矩阵直接进行划分。

二、矩阵的划分

设Fm×n为数域F上m行n列矩阵的全体。我们定义Fm×n上的一个变换：

定理1 存在一个变换f：Fm×n→Fm×n，使得A∈Fm×n。（1）当r

证明 利用初等变换：互换变换、倍法变换、消去变换，将矩阵A变成与之相抵的矩阵，在相抵关系下矩阵A的标准型简记为Er000。

事实上，存在一些初等矩阵Pi，Qj，i=1，2，…，s，j=1，2，…，t，使得

Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=Er000。因此，我们定义一个映射A∈Fm×n，（1）当r

显然，除了零矩阵对应零矩阵外，其余均是多个矩阵对应一个矩阵的映射，也不是满映射。同时，我们也得到另一个映射g：Fm×n→N，g（A）=r，其中r是矩阵A的秩。

定理2 对于A∈Fn×n，则有 f2（A）=f（A）。

根据定理1，容易得到定理2。由此可得：对于A∈Fn×n，k∈N+，有fk（A）=f（A）。因此，f是幂等变换。矩阵的许多性质都有幂等变换f有联系。

定理3 设映射g（A）=r，其中r是矩阵A的秩。Fm×n的一个划分为：（1）当m≤n时，Fm×n=∪mr=0g-1r； （2）当m>n时，Fm×n=∪nr=0g-1r。

证明 我们对（1）情况进行证明。显然对于r=0，1，…m，g-1r是表示非空矩阵的集合；如果A∈g-1i∩g-1j，i≠j，i，j=0，1，…m，则有i=g（A）=j，矛盾。根据映射的定义，∪mr=0g-1r=Fm×n。因此，∪mr=0g-1r是矩阵Fn×n的一个划分。

根据Fm×n中的矩阵进行的这个划分π可以确定Fm×n上的一个等价关系R：A与B具有等价关系ARB当且仅当A与B在同一个划块中。可以证明π导出的等价关系：

R=（0×0）∪（g-11×g-11）∪…∪（g-1r×g-1r）。

其中r=min{m，n}。只要两个矩阵具有相同的秩，它们就等价。

例1 设A∈Fn×n，且rank（A）=r。 证明： 存在B∈Fn×r，C∈Fr×n，使得A=BC。

证明 存在初等矩阵Pi，Qj，i=1，2，…，u，j=1，2，…，v，使得

Pu…P2P1AQ1Q2…Qv=Er000。

令P=P-11P-12…P-1u，Q=Q-1v…Q-12Q-11。则有

A=PEr000Q

=P′1P′2Er000Er000Q′1Q′2

=P′1Q′1BC。

因此，结论成立。

例2 已知A=213426639，计算A2000。

解 因为矩阵A的秩为1，分解为A=123213，则有

A2=123213123213

=13213123=13A；

A3=A2A=13AA=132A；……；A2000=131999A。

[参考文献]

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