利用对称性计算二重积分

朱永婷　王桦

[摘要]为了简化重积分的运算，考虑到积分区域的对称性，依据被积函数的奇偶性，介绍利用对称性计算重积分的方法，并借助实例说明其应用。

[关键词]奇偶性；对称性；二重积分

重积分的计算是高等数学教学中的一个重点，也是每届学生学习的难点。现有的教材给出了通用的计算方法，化重积分为累次积分，但对大多数初学者来说，它的计算是令人头疼的事情。如果把重积分的计算与对称性相结合，会大大的减小计算量，降低计算难度。本文突破教材，从对称性角度出发，介绍一种行之有效的简便计算方法。

在定积分的计算中，我们有对称性区间上偶倍奇零的结论，即：

设f（x）在[-a，a]上连续，

①若f（x）为偶函数，则 ∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx；

②若f（x）为奇函数，则∫a-af（x）dx=0。

如果我们将一元函数奇偶性的定义推广到多元函数，那么在对称域上，重积分是否也有类似的结论？下面我们以二重积分为例进行探讨。

（一）多元函数广义奇偶性的定义

定义 如果二元函数 z=f（x，y）的定义域是一个对称区域D（关于x轴、y轴、直线y=x、原点对称），设A∈D，其对称点为A′，若恒有f（A）=-f（A′） （f（A）=f（A′）），则称 z=f（x，y）是该对称区域上广义的奇（偶）函数。为了叙述方便，以后我们统一称为奇（偶）函数。

从定义可以看出，二元函数在对称区域上奇偶性的判断，首先在对称区域内，寻找相互对称的任意两点A和A′；然后判断A和A′点处对应函数值的关系，若相等则为对称区域上的偶函数，若相反则为对称区域上的奇函数。

例1 判断f（x，y）=sinx+siny在关于原点对称区域上的奇偶性。

解 设A（x，y）在积分区域内，其关于原点对称的点为A′（-x，-y），则：

f（A）=f（x，y）=sinx+siny。

f（A′）=f（-x，-y）=sin（-x）+sin（-y）=-（sinx+siny）。

所以f（A）=-f（A′），因此sinx+siny是关于原点对称区域上的奇函数。

（2）积分区域为对称区域时的计算

定理 若积分区域D（关于x轴、y轴、直线y=x、原点对称），设A∈D，其对称点为A′，

Df（x，y）dxdy=0f（A）=-f（A′）2D1f（x，y）dxdyf（A）=f（A′）

其中D1表示D位于对称轴（点）一侧的部分。

积分区域D的对称性有四种不同的情形，但是只要满足在对称区域上，被积函数具有相应的奇偶性，就能利用偶倍奇零的原则化简重积分。

例2 利用对称性计算D（|x|+|y|+sinx+siny）dxdy，其中D为 |x|+|y|≤1所围平面闭区域。

解 在对称区域上，函数的奇偶性不同，所以我们把被积函数分成两部分，其中D4代表D在第四象限的部分。

原式=D（|x|+|y|）dxdy+D（sinx+siny）dxdy

=2D1+D4（|x|+|y|）dxdy+0

=4D1（|x|+|y|）dxdy+0

=43。

由此例题说明，利用对称性计算二重积分可以大大简化计算，即节省了时间，又提高了正确率。但是在使用的过程中需要注意的两个条件，1。积分区域D具有对称性；2。被积函数f（x，y）在积分区域内具有相应的奇偶性。

例3 I=Dx[1+yf（x2+y2）]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=-1所围成的平面闭区域，f为连续函数。

解：在积分区域内作辅助线y=-x3，此曲线将积分区域D分为两部分D1和D2，D1关于x轴对称，D2关于y轴对称，则

I=D1x[1+yf（x2+y2）]dxdy+D2x[1+yf（x2+y2）]dxdy

=D2xdxdy+0

=25。

从上面的例题不难发现，在二重积分的计算中，利用“对称区域上偶倍奇零”的原则，会达到事半功倍的效果。同样，该原则也可以推广到三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分的化简计算上。

[参考文献]

[1]毛纲源。高等数学解题方法归纳[M]。武汉：华中科技大学出版社，2001。

[2]同济大学数学系。高等数学[M]。北京：高等教育出版社，2007。