意外探究，别样精彩 意外探究，别样精彩

蔡江华

曾经在一次高三模考中，出现了这样一道向量题：已知点O是△ABC内部的一点，且3OA+5OB+2OC=0，求△AOB与△ABC的面积之比。当时这题的正确率很低，只有少部分学生会做。作为年轻教师的笔者也没意识到这题的价值，课上只是让那位会的学生进行了板演，老师稍做点评就结束了。估计学生也没有留下太深的印象。后来无意中听到一位老教师说关于这题有个结论。笔者当时想数学不是靠背公式，于是也没去请教。

近日，笔者翻阅文献[1]，无意中看到一篇文章，里面引例类似笔者之前遇到的题目。难道真的有更深刻的理解或是一般性的结论？带着疑惑，笔者认真读完了这篇文章。读完后有种相见恨晚的感觉，也有些惭愧，后悔当初没有认真请教。正巧最近一次考试中出现了类似题目，笔者决心这次一定不能错过。

1。课堂展示

题目 已知点O是△ABC内部的一点，且OA+2OB+3OC=0，求△AOB与△ABC的面积之比。学生经过一番交流后板演了2种解法：

方法1：（利用系数特征）

OA+OC+2（OB+OC）=0，OA+OC=-2（OB+OC），取AC，BC的中点P，Q，则OP=-2OQ，∴O，P，Q三点共线，∴S△AOB∶S△ABC=1∶2。

方法2：（利用重心）设OM=OA，ON=2OB，OP=3OC，则OM+ON+OP=0，∴O为△MNP的重心，∴S△OMN=S△OMP=S△ONP，∵OA=OM，OB=12ON，OC=13OP，∴S△AOBS△MON=12OA·OBsin∠AOB12OM·ONsin∠AOB=12，∴S△AOB=12S△MON，同理：S△AOC=13S△MOP，S△BOC=16S△NOP，∴S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=3∶2∶1，∴S△AOB∶S△ABC=1∶2。

点评完后，

师：2种方法哪个更好呢？

学生：方法一。

忽然学生甲举手说：“要是系数不是那么巧，比如，把3改为4，方法一就不行。”笔者心中暗喜，这正是心里期待的提问。要是以前笔者估计不会继续延伸，因为没更深层次的知识储备，但这次通过课外探究，已经对这题型有更深的理解，不怕“挂黑板”了。此时其他同学也冷静下来，微微皱起眉头，停顿片刻后，他们又活跃起来。

学生乙：方法二对系数没有要求，是个通法。

其他同学也投来赞许的目光。

师：看来这道题可以推广到一般情况。已知平面内一点O，且αOA+βOB+γOC=0，求S△BOC∶S△AOC∶S△AOB。以下是学生探讨后板演的过程：设OM=αOA，ON=βOB，OP=γOC，则OM+ON+OP=0，∴O为△MNP的重心，∴S△OMN=S△OMP=S△ONP，∵OA=1αOM，OB=1βON，OC=1γOP，∴S△AOBS△MON=12OA·OBsin∠AOB12OM·ONsin∠AOB=1αβ，C∴S△AOB=1αβS△MON，同理：S△AOC=1αγS△MOP，S△BOC=1βγS△NOP，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=α∶β∶γ。师：如图α，β，γ是正数，若出现负数，以上结论还成立吗？

生：可以，若α为负数，此时∠MON与∠AOB互补，sin∠MON=sin∠AOB仍然成立。

师：很好，那我们把公式再优化一下。

生：已知平面内一点O，且αOA+βOB+γOC=0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=α∶β∶γ。

师：该题型有什么特征？

生：条件中各向量共起点，且和为零向量，上面三角形的面积之比恰好为等式中它们所缺字母所在的向量的系数之比。至此，关于这道向量面积比问题已经完美解决，学生也留下了很深的印象。

2。教学反思

通过这道题的前后两种课堂对比，笔者深刻体会到教研的重要性。笔者反思后总结出作为年轻教师搞好教学研究的几种途径。

（1）向身边同事请教，牛顿曾说：“如果说我看的远，那是因为我站在巨人的肩膀上。”我们身边就有许多优秀的同事，不管在课堂教学还是解题方法上，他们都有很丰富的经验。平时要多听他们的课。听课是年轻教师快速提高自己课堂教学水平，促进自身专业发展的重要途径。

（2）积极参加交流研讨活动，各级各类教学研讨课，都是执教者或执教者所在的一个集体的智慧的结晶。教师由于平时忙于教学，不知道外面同行在用怎样的思路工作。因此，教师进行交流取长补短，查漏补缺，能促进年轻教师的学习成长，提高教学质量。

（3）多读书，你所读的所有东西都会给你的大脑带来新的信息，而你永远无法知道什么时候它们就会派上用场。你掌握的知识越多，对于奖励所面对的挑战，你就准备的越充分。比如这次面对同样的题型，笔者从容应对，漂亮收尾，都源于课后不经意的阅读。

（4）多倾学生的声音，我们常常强调学生要尊重老师，却往往忽视了学生的主体地位。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”解决问题只是一个技能而已，而提出一个新问题，却需要有创新性的能力，这才是一个人思维能力的最佳表现。所以课堂上不要压抑了学生的思维，应鼓励学生大胆质疑。学生的问题，也许正是教师所忽视的地方。作为数学老师，学生提出的某些问题一时答不上来，是很正常的现象。这就需要我们加强学习，努力提高专业水平。

[参考文献]

[1]陆学政。从教材中寻找思维的源泉。中学数学教学参考：上旬，2014（7）：68-70。

[2]马晓东。一类面积比的简洁计算公式。中学数学教学参考：上旬，2014（3）：31-32。