生活化教学理念下关于函数的连续性的教学设想

王继禹　贾秀玲

[摘要]高等数学的教学方法改革是高校教师一直思考的一个热点问题。把抽象的数学知识生活化，回归数学知识的生活形态是教学实践的方向。沿着此方向，本文构造了关于函数连续性概念的教学设想，通过生活实际应用达到引发学生的学习兴趣，帮助学生理解抽象的数学知识，从函数连续性的概念得到生活启示。

[关键词]函数；连续性；生活化

[基金项目]河南省教育厅重点科研项目（15A110027）

前 言

现如今《高等数学》已经成为各个大学几乎各个专业的公共必修课。高等数学与初等数学的差别除研究的问题有显著差异外（初等数学主要研究具体、静态和有限的问题，高等数学主要研究抽象、动态和无限问题），最大的差异就是高等数学的基本概念要比初等数学的概念艰深的多。对于非数学专业的学生，对数学的学习总怀着一种畏惧感。特别是一些三本或高职高专的学生，本身基础差，即使使尽浑身解数还是力不从心；另外传统的高等数学课堂教学解题模式，大都是教师一言堂，学生和教师在教学中遭遇的知识是固化的真理，缺乏“人气”的知识，一堆“死”的符号型的结论，枯燥抽象的数学知识降低了三本及高职高专学生的上课积极性。所以对高等数学教学方法的探讨和改革势在必行，很多前辈泰斗一直都在致力于数学教育及教育数学的研究，试图找到《直来直去的微积分》教学，当然这会是一个伟大而又漫长的过程。但是对于当前，至少可以觉察到生活化教学是实施数学教育的一个很好的途径。

本文就本着生活化教学理念，来谈谈函数连续性的概念教学过程。把抽象的数学知识与生活实际联系起来，让学生看到所学知识的有用性，从而达到提高学生的学习兴趣，并帮助学生理解、接受并应用抽象的数学知识

1。问题设计

19世纪末美国康奈尔大学科学家做过一个著名的“水煮青蛙”实验。科研人员将青蛙投入40摄氏度的水中时，青蛙因受不了突如其来的高温刺激立即奋力从开水中跳出来得以成功逃生；当科研人员把青蛙先放入装着冷水的容器中，然后再缓慢加热（每分钟上升0。2摄氏度），结果就不一样了，青蛙反倒因为开始时水温的舒适而在水中悠然自得，而当青蛙发现无法忍受高温时，已经心有余而力不足了，不知不觉被煮死在热水中。

青蛙之死的故事引发很多人的讨论，可谓是“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，每个观点和结论都各有千秋，也各有道理。但从高等数学知识的角度来看可以用函数的连续性概念来解释青蛙之死的原因。

2。概念教学

函数是连续的，这到底意味着什么呢？直觉告诉你我们可以一笔画出连续函数的图像来的。 对于像y=x2这样的函数是很容易一笔画出来的。但是对于像y=1x这样的函数，它的函数被y轴分成了两部分，所以整体来说它是不连续的。但事实上除了在x=0外，y=1x处处连续。因此，我们必须理解在一点处连续是什么意思。然后，再考虑在像区间一样更大的区域上的连续性。

定义1 设函数f（x）在点x0的某邻域内有定义。

如果

lim[]x→x0f（x）=f（x0）（1）

则称函数f（x）在点x0连续，并称x0为函数f（x）的一个连续点。

以上是函数f（x）在某点x0处的点连续定义，由定义可得如下结论：若limx→x0f（x）=f（x0），则函数f在点x0处连续。

但必须要明确的是极限等式要成立，必须有以下三条同时成立：

（1）函数f（x）在x0处有定义；即f（x0）存在（并且是有限的）；

（2）左右极限都存在且相等；即f（x0-0）=f（x0+0）；

（3）极限值等于函数值；即limx→x0f（x）=f（x0）。

综上可知，要判定函数f（x）在点x0连续与否，需求三个值：

f（x0-0）；f（x0+0）；f（x0）。

若三个值存在相等则函数在此点连续，否则不连续

现在对以上定义进行如下分析：

若limx→x0f（x）=f（x0）。

则可得到式（1）等价于

limx→x0f（x）-f（x0）=0。（2）

若令Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0），

则可得到：

limx→x0f（x）=f（x0）limΔx→0Δy=0。

事实上，limΔx→0Δy=0是函数点连续的另一种定义形式，它更直接的说明了函数连续性的实质：即自变量的微小变化仅仅引起因变量的微小变化。

由函数的点连续我们可以给出函数在区间上的连续性的定义。

定义2 如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点都连续，则称函数f（x）在区间（a，b）内连续。

对于形如[a，b]的区间又如何呢？

定义3 （1）若f（x）在点x0的某左邻域内有定义，且f（x0-0）=f（x0），则称函数f（x）在点x0左连续；若f（x）在点x0的某右邻域内有定义，且f（x0+0）=f（x0），则称函数f（x）在点x0右连续。

（2）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上有定义，开区间（a，b）内连续，且在点a右连续、在点b左连续则称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。

显然，

函数f（x）在点x0处连续f（x）在点x0既左连续又右连续。

从几何直观上，连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

另外从定义的等价形式上也可以看到：若函数f（x）在区间上连续，则区间上每一点处自变量的微小变化都仅引起因变量f（x）的微小变化，这就是函数连续性的实质。

许多常见的函数都是连续的，如六种基本初等函数等。可函数描述的是变量间的关系，是对实际问题中的变量关系的抽象。于是可以看到现实世界中很多变量的变化都是连续不断的。

3。生活启示

在观察自然和社会现象时，所观察到的许多变量都是“连续不断”变化的：比如，时间的变化，温度的变化，河水的流动，生物的生长，物体的运动，风俗的变迁等等。毫不夸张的说正是连续的普遍性的存在才使正常生活成为可能。

连续性在现实生活中普遍存在，可是由于连续性本质是自变量的微小变化都仅引起因变量的微小变化，所以在生活中连续性往往会蒙蔽了人们的双眼。

现在对于青蛙之死，可以用连续性的概念来揭开其事实真面目了。显然对水加热的过程中，水的温度T是关于时间t的函数，并且从函数图像上（连续不断）可以知道T=f（t）是一个连续函数，则随着自变量时间t的改变，函数值温度T也在改变。但由其连续性可知：在每一时刻t，当时间t改变量很微小时，温度T的改变量也很微小，于是微小变化没有引起青蛙的注意，就是在这样的连续的微小变化中，青蛙的知觉不再敏感，最终造成了青蛙之死的悲剧。

不得不说生活中的我们也曾被连续性蒙蔽了双眼。比如说，我们常说“病来如山倒，病去如抽丝”，其实，病来是也是“抽丝”，只是由于连续性的原因没有“倒下”之前总是引不起我们的注意。

有时候，在生活中，即使我们能预测结论，可是由于连续的实质，真相还是会被掩盖，让人不易觉察：如大家都知道世界万事万物每时每刻都在发生着变化，可是你感觉到你的同桌的容貌在今天和昨天有所不同吗？他是胖了还是瘦了？高了还是矮了？还有我们的父母，当我们天天见面时，我们不会觉得岁月在他们脸上留下的印记，可当我们离家好久归来时，是不是会猛然发现他们怎么老的那么快？

然而，就生活而言，连续性是一把双刃剑。就以在校大学生的学习生活为例，短时间的勤奋不会让我们看到立竿见影的进步；同样，一时的彷徨和懈怠也不会显现出消极的后果，所以连续性会给我们一个错觉：以为干与不干一个样。但是随着时间的流逝，当我们看到结果时或也为时已晚矣！

所以作为一个大学生，一定要坚定自己的信念和目标，并积极的一点一滴的去践行，不要因进步微小而不为，因为连续性的定义告诉我们：日积月累中，我们的进步就会“现身”了！

[参考文献]

（1）王金才。关于《数学分析》中原始概念的教学法[J]。数学教育学报，2013，22（4）：94-96。

（2）邱云兰，曾峥。高职高等数学课堂教学中的互动解题研究[J]。数学教育学报，2013，22（3）：39-43。