渗透数学文化，上好第一节微积分课

冯文俊　王俊新

[摘要]渗透数学文化，使学生对《微积分》课程有宏观认识和总体把握，充分认识到《微积分》课程的重要性，了解《微积分》课程的美，从而喜欢这门课程并对学习这门课程充满信心。

[关键词]数学文化；总体把握；重要性；美

[中图分类号]G64 [文献标识码]A

[资助项目]山西财经大学2011年教育教学改革研究项目（项目编号：2011131）

学生从小学到大学学习了多年的数学，普遍认为数学课程难且枯燥乏味，对数学课程的学习没有总体认识和宏观把握，没有足够的信心，感受不到数学课程的重要性和美。基于学生在高中阶段对《微积分》课程已有初步的了解，在大学上第一节《微积分》课程时，充分渗透数学文化，使学生对《微积分》课程有宏观认识和总体把握，充分认识到《微积分》课程的重要性及《微积分》课程的美，从而喜欢这门课程并对学习这门课程充满信心。

一、渗透数学文化，了解《微积分》课程诞生的历史，使学生对《微积分》课程有宏观认识和总体把握

1。《微积分》课程第一至四章的来源

在上大学第一节《微积分》课程时，先讲《微积分》课程诞生的历史。牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。牛顿当时是用如下方法计算自由落体在某一时刻的瞬时速度：

设自由落体在t0时间内下落的位移为S（t0），位移公式为S（t0）=12gt02，其中g是重力加速度。当时，根据科学的发展，需要计算物体在t0时刻的瞬时速度，牛顿的计算方法为，从t0时刻开始再下落Δt时间，欲求物体在t0时刻的瞬时速度，先求物体在Δt时间内的平均速度ΔSΔt，ΔSΔt=12g（t0+Δt）2-12gt20Δt=gt0+12g·Δt（ * ）

牛顿认为，物体在t0时刻的瞬时速度即当Δt变成无穷小时Δt时间内的平均速度。所以，当Δt变成无穷小时，右端的12g·Δt也变成无穷小，因而上式右端就可以把12g·Δt这一项去掉而只剩下gt0，即物体在t0时刻的瞬时速度为gt0。

当讲到这里时，提问学生这个推理过程严密吗？学生指出，如果Δt是0，上式（ * ）左端把Δt作为分母没有意义。如果Δt不是0，把上式（ * ）右端12g·Δt这一项随便去掉是不对的。然后我告诉学生，当初可能因为牛顿本身是一位伟人，而且牛顿的这一方法确实很好用，解决了大量的过去无法解决的科技问题，包括像海王星的发现这样鼓舞人心的例子，更显示出牛顿的理论和方法的巨大威力，所以没有人提出质疑。后来牛顿学派外部英国大主教贝克莱就“牛顿的无穷小作为一个量究竟是不是0”提出质疑，产生了历史上第二次数学危机。当初牛顿及其拥护者奋起与贝克莱论战，但是在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。而且，随着时间的推移及研究范围的不断扩大，类似的悖论日益增多。包括数学家在研究无穷级数的时候，也是在有限与无限之间任意通行，作出过大量错误的证明，得出许多错误的结论。

数学的发展，要求微积分的基础“极限理论”诞生。19世纪，经过以法国数学家柯西为代表的一批数学家艰辛的努力，极限理论终于诞生了，再加之维尔斯特拉斯建立了实数系，严格的极限理论才算真正建立。

严格的极限理论建立之后，自由落体在t0时刻的瞬时速度计算方法如下： limΔt→0ΔSΔt=limΔt→012g（t0+Δt）2-12gt02Δt=limΔt→0（gt0+12g·Δt）=limΔt→0gt0+limΔt→012g·Δt=gt0，这实际上就是函数S（t）=12gt2在t0这一点的导数，这才彻底解决了贝克莱的责难，从根本上消除了历史上第二次数学危机。实际上，严格的极限理论建立之后，对无穷小量Δt与0的关系给出明确的回答。虽然这个结果与牛顿当初计算的结果相同，但是每一步推理过程都有严格的逻辑基础。

纵观微积分诞生的历史，我们可以看出，微积分基础建立的历史顺序为：导数与微分（教材第三章）→极限与连续（教材第二章）→函数（教材第一章）（教材第一章在实数基础上讲解函数及其一些性质），逻辑顺序与历史顺序正好相反。

2。《微积分》课程第五至六章的来源

如右图，为了计算由x轴、直线x=a，x=b及曲线y=f（x）围成的不规则图形的面积，在区间[a，b]中任意插入n-1个分点，a=x0

为了简单起见，把这个极限值记为∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi，

称为函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分（教材第六章）。17世纪后期，牛顿和莱布尼兹几乎是同时发现著名的微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式，即如果F′（x）=f（x），则∫baf（x）dx=F（a）-F（b）。所以，要计算∫baf（x）dx的值，需先知道那个函数的导数等于f（x），即f（x）的不定积分（教材第五章）。逻辑顺序与历史顺序也正好相反。

3。《微积分》课程第七至十一章的来源

第七章多元函数微分学是第一至四章一元函数到多元函数的推广。第八章二重积分是第五至六章的推广。第九章无穷级数是第二章的特殊情形。无穷级数是数列的和，第九章主要讲解几种特殊无穷级数的敛散性（即极限值的存在性）及收敛级数极限值的计算。第十章微分方程是第六章的推广。在第五章中，若已知dydx=x，我们可以求出y=12x2+C，其中C为任意常数。但是如果已知dydx=xy，我们通过第五章的学习就不会求出y的值。形如dydx=xy含有自变量x、未知函数y以及未知函数的导数dydx（或微分）的等式，称为微分方程。第十一章差分方程是以第十章为工具，以此研究离散数学模型。

在大学上第一节《微积分》课程时，通过对《微积分》课程诞生的历史的学习，使学生对《微积分》课程各章之间的关系及整本书的内容有宏观的认识和总体把握。

二、渗透数学文化，了解数学及《微积分》课程的重要性

（一）渗透数学文化，了解数学的重要性

马克思曾经说过，“一门科学只有成功地运用了数学时，才算达到了真正完善的地步（见拉法格的回忆录）；华罗庚先生也说过，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在；”2000年是联合国宣布的“世界数学年”，联合国教科文组织指出：“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙”；现在有人说：“哲学从一门学科中退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。”数学与文学、史学、哲学、经济学、社会学、密码学及工程技术等都有密不可分的联系；诺贝尔经济学奖获得者中，数学家或有研究数学的经历的经济学家占了一半以上；牛顿发现了万有引力定律，他把其最重要的著作命名为《自然哲学的数学原理》，是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧；爱因斯坦分别于1905年和1915年提出狭义相对论，广义相对论，这是对物理学的重大变革，其核心内容是时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的。四维空间的洛仑兹变换是数学模型的表现形式；英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波 应该以光速传播者；最近，两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50年的“简单”问题：啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时的数学规律。该研究成果将对工程学的泡沫材料设计、生物学的组织结构研究以及物理学的晶体颗粒排列探测产生深远的影响，相关论文发表在2007年4月26日的《自然》杂志上。其中，气泡胀大、收缩或者合并，背后的驱动力都是表面张力，气泡的变化，取决于表面总曲率；神州六号、七号、八号、九号的升空，宣告了我国具有制造和发射航天飞机的能力。在神舟六、七、八号、九号的研制过程中，数学起了不可替代了作用，尤其是在轨道测算，时间测算等方面；1973年，美国芝加哥大学学者F·布莱克与M·肖莱斯提出了布莱克-肖莱斯期权定价模型（blackscholes option pricing model），对股票期权的定价作了详细的讨论。此后，不少学者（Merton）又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地推动了期权定价理论的研究。该模型中用到很多数学知识。他们也因此获得了1997年的Nobel经济学奖；从医学上的CT技术到印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设计到指纹的识别，从石油地震勘探的数据处理到信息安全技术，还有天王星、海王星的发现等等，这些形形色色的技术背后，数学都扮演着十分重要的角色，常常成为解决问题的关键。以上例子足以说明数学学科的重要性。

（二）数学文化在数学学习中的重要性

2002年，在北京召开的由国际数学联盟主办的全球数学界最高水平的学术会议“国际数学家大会”会场的大幅标语为“传播数学文化，立志报国奉献”，其中使用了“数学文化”一词；2003年，普通高中《数学课程标准》中指出，数学是人类文化的重要组成部分，数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。要求在高中数学的教学过程中充分渗透数学文化，体现人文精神。这也是 “数学文化”首次进入官方文件；十二五《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中提到，要把育人为本作为教育工作的根本要求，要培养学生良好的审美情趣和人文素养，加强中华民族优秀文化传统教育。积极推进文化传播，弘扬优秀传统文化，发展先进文化。这充分说明数学及传播数学文化的重要性。

（三）学习《微积分》课程对大学后续课程学习的重要性

1。微积分第一章为函数。微观经济学中的常见函数有需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数、弹性函数、生产函数以及边际函数等都是微积分中函数的范畴。

2。边际分析方法是经济理论中的一个重要分析方法。通过学习微积分中的导数，可以对微观经济学中的经济变量进行边际分析。

3。通过微积分中函数极值的学习，研究微观经济学中生产者利润最大化问题。

4。数学已经广泛深入到经济学领域。

古希腊的普罗塔戈尔说过：“头脑不是要被填满的容器，而是一把需被点燃的火把”。所以，在《微积分》课程的教学过程中，创造性地使用教材，在遵循教学大纲的前提下，充分渗透数学文化，使学生在学习数学的过程中真正受到数学文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，使学生真正感受到学习数学的重要性以及渗透数学文化的重要性，并真正感受到数学的美，并对学习数学充满信心。只要我们揭开数学神秘的面纱，作为人们在生产实践中必不可少的数学必将成为受青睐的学科。