微积分基本概念教学浅析

刘晓莉

[摘要]微积分基本概念是微积分知识体系的基础和核心，是教学研究的一个重要主题。本文就微积分基本概念教学的特征及策略进行分析和探讨。

[关键词]微积分；基本概念；教学法

微积分学是一个科学合理、逻辑严谨的知识体系，是由一个个相互之间有着密切联系的知识点构成，每个知识点都构筑在基本概念之上，形成了相应的基本理论和方法，其中所贯穿的数学思想、思维方法是人类智力的伟大成就之一，是培养学生逻辑思维能力和推理能力重要基础，是大学生素质教育的重要载体。

微积分的精髓在于极限、连续、导数、微分、积分等基本概念中，深刻理解这些概念是学好大学数学课程的基础。但由于这些概念理论性、逻辑性较强又相对抽象，其思维模式与初等数学差别较大，容易混淆。很多学生会求导、做积分运算，但对概念中蕴含的思想并不理解，对概念间的关系认识模糊；还有学生感觉无论怎么认真努力，还是难以理解有些概念，以至于对数学课望而生畏。因此，加强基本概念教学极其重要。

1。重视概念构建体系的引申

数学概念的建构是认识主体（学生）与客体的相互作用的过程，是认识主体以其已有的知识和经验为基础的主动建构过程。建构的结果表现为学生对数学概念的理解、掌握和应用。概念的形成在数学学习中占有十分重要的位置，因此在微积分的教学过程中要特别注重概念的建构。

微积分学中的极限、导数、微分、积分等基本概念，蕴涵了高等数学理论体系中的基本思想，其中严谨的极限理论体系贯穿其中，是微积分的内核与根基，是学习连续、导数、全微分等概念的前提，必须加强极限概念的教学。虽然极限、导数等也是中学数学的教学内容，但在极限、连续、可导之间的逻辑和理论分析上相对比较薄弱，所以需采用重点知识集中强化衔接，新旧结合的方法引导学生进行逐步地分析、概括基本概念和方法，帮助学生深入理解基本概念本质。

现代数学有总多的分支，都有一个共同的根基，就是集合论。集合论中最基本的概念为集合，映射，函数，等价等，对于这些简单概念的理解，是学习微积分以及进一步学习其他数学分支的基础。所以，一般高等数学教材的第一章都会介绍这些基本概念。但是，不少教师认为这都是中学的内容，不予以重视。事实上，不少学生对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的理解不够透彻，对反三角函数也比较陌生，所以，应调整教学计划，加强集合论、基本初等函数以及符号函数、取整函数，狄利克雷等函数的教学，加强学生数学的基础，提高其对数学概念的理解、应用和转化能力。

2。加强概念相互联系的展示

数学是一门前后知识连贯性较强的学科，每一个新的知识点，往往都以旧知识点为支撑，微积分学也不例外。一般来说，学生对微积分学基本概念理解得不够好的原因之一是，所获得的知识点比较零散、孤立，缺乏与其他知识点间的联系。所以，进行新概念的教学时，一方面要善于与已学的概念加以比较，展示概念间的密切联系，找出其共性与个性，进行分析。例如，连续和导数定义都是利用极限来定义的，将左、右极限定义以及极限存在的充要条件加以强调和阐述后，提出左连续的概念，使学生尽快联想到右连续以及连续的充要条件。

另一方面，要引导学生能对某些概念加以适当推广、引申，为今后学习新概念铺垫基石。例如，在多元积分学中，由于多元函数性质的复杂性，学习难度增大，如果再孤立地讲解几种类型积分的基本概念，学生会感到更加难于理解。所以，可以定积分的概念为桥梁，采取归纳、类比的方法，引入概念，强调积分学中的定积分、重积分、两类曲线积分、两类曲面积分的概念之间的关系及异同，使学生认识到，无论是哪类积分，都是由分割—近似—求和—取极限这几个基本步骤形成，帮助学生建立其关系网络，把握各类积分的本质，建立积分概念体系。

3。重视概念直观模型的引入

微积分学概念都基本上是在解决实际问题基础上抽象发展形成的，都有相对应的直观模型，充分挖掘概念的直观模型，并能根据教授学生所属学科，找出相应的例子，将抽象的数学概念，转化成“看得见摸得着”的具体对象，拓展学生对现实生活中事物变化规律的认识与刻画，使学生掌握好数学知识同时也受到一定的数学应用训练。

例如，对于导数的概念，尽量避免将其作为特殊极限来引入，最好是通过实际背景或具体应用方面的实例，使学生了解导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，是一类事物或现象在数量方面共同具有的特征。其直观模型不仅有瞬时速度、切线斜率、增长率、电流强度、线密度、膨胀率、效率等，还可以表示瞬时加速度、角速度以及经济中的边际、弹性等，使学生明白导数的思想和本质以及与真实现象间的特殊关系。

又如，对于散度概念的教学，也可利用直观描述，进行适当的分析，说明在流速场中，散度主要刻画一个点是否为源，以及源的正负与大小；在电场中，散度则表示在一个点处是否存在电荷，以及电荷的正负与电量的大小；如果将散度与通量相比较，通量反映的是全局性态，而散度表示的是一点处的性态。这样，学生不仅记住了散度的公式，也会对散度的应用有深刻的理解，提高学生对理论教学的兴趣。

4。结 语

微积分概念教学法的研究是大学数学教学改革的重要组成部分，需要教师深入钻研教材，透彻理解所教授概念的实质，梳理新认识、新问题，不断积累和沉淀，才能在提高教学质量等方面取得显著的效果。

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