说说表示不等关系的数学模型

田载今

前面我们学到过等式（包括方程），知道它可以表示实际问题中的相等关系，现在我们又学到不等式，知道它可以表示实际问题中的不等关系，那么我们究竟该怎样认识不等关系和不等式呢？

1.不等关系，

从一堆苹果中随意取出两个分别称重，有三可能情形：第一个苹果比第二个苹果重，两个苹果一样重，第一个苹果比第二个苹果轻，三种可能情形中必有且仅有一种发生，推而广之，任取两个实数a，b，必有且仅有下列三种可能情形中的一种发生：（1）a大于b，记作a>b（或ba），这里的“大于”“等于”“小于”是三种不同的关于数量的大小关系，其中“大于”和“小于”属于小等关系。

不等关系在客观事物的数量比较中普遍存存，例如，度量任一个三角形的边长，其中任意两边之和一定大于第三边，任意两边之差一定小于第三边。

符号“>”和“<”分别表示“大于”关系和“小于”关系，它们的开口一侧对着较大的数，尖头一侧对着较小的数，由开口到尖头表示由大到小，这是人们创造此类符号的初衷，符号“≠”仅表示“不相等”关系，而不指明谁大谁小，a≠b表示a>b或ab或单独的ab或a”“<”“≠”“≥”“≤”统称不等号。

2.不等式，

等式（包括方程）是用等号表示相等关系的式子，如l+2=3，3x+2=5，不等式是用不等号表示不等关系的式子，如2<3，5x+l>16，作为表示不等关系的数学模型，不等式是解决许多问题的重要工具。

对于含未知数的不等式，能使不等式中的不等关系成立的未知数的值，叫作不等式的解，一个不等式的解通常有许多个，例如，任意一个比l大的数都是不等式x+l>2的解，任意一个比1小的数都是不等式X+l<2的解，一个不等式的全部解组成这个不等式的解集，例如，不等式x+l>2的解集为x>1，不等式x+l<2的解集为x<1，可以看出，不等式的解集即不等式中未知数的取值范围。

解不等式是求不等式的解集，含有一个未知数的不等式的解集，可以在数轴上直观地表示出来，例如，图1和图2分别表示不等式x+l>2和x+l<2的解集，

3.不等式的性质，

要解不等式，需要先掌握不等式的性质，因为不等式的性质是解不等式的依据，不等式的性质可归纳为以下三条：

（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，也可表述为：若a>b，则a±c>b±c。

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，也可表述为：若a>b，

运用不等式的性质时要特别注意：在不等式两边进行乘除法运算，要注意乘数或除数的正负。并由此确定不等号的方向，可以结合特例来加深印象：2>1显然成立，则2×2>1×2（即4>2）和2×（-2）<1×（一2）（即-4<-2）都成立，

4.一元一次不等式，

只含一个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式形式的不等式，叫作一元一次不等式，它不同于一元一次方程的地方在于式子中有不等号而无等号，解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤大体一样，但有两点需要注意：第一，不等式两边乘（或除以）同一个不为0的数时，要根据这个数的正负考虑不等号的方向；第二，解不等式的结果是得到未知数的取值范围，而不是一个确定的值。

联系起来，同学们会对两个求解过程的相同点与不同点有很清楚的认识，

利用一元一次不等式解决实际问题的过程与利用一元一次方程解决实际问题的过程也十分相似，不同之处在于列方程要依据丰H等关系，而列不等式要依据不等关系，因此在利用一元一次不等式解决实际问题时，一定要分析出相关的两个量谁大谁小。并正确地用不等号把表示这两个量的式子连接起来，这样就能把实际问题中的不等关系用不等式表示出来，从而得到解决问题的数学模型，

5.一元一次不等式组，

如果问题中的某个量同时满足几个不等关系，那么这个量就应同时满足几个不等式，这几个不等式组成一个不等式组，其中各个不等式的解集的公共部分就是这个量的取值范围，例如，现有两根长度分别为4cm和6cm的小棍，要再找一根小棍，将它们首尾顺次相接摆成一个三角形。则这根小棍的长度既要大于另两根小棍的长度之差，又要小于另两根小棍的长度之和，如果设这根小棍的长度为xcm，则可用数学形式表示为不

解由几个一元一次不等式组成的不等式组的方法，是“先各个击破，再取其交集”，即先分别解每个不等式，再找出各个解集的公共部分，以此作为不等式组的解集，例如，解得到它们的解集分别是x>2和x<10，再取这两个解集的公共部分，得到2

因为每个二元一次不等式的解集都可以在数轴上直观地表示出来，所以利用数轴可以直观地发现各个解集的公共部分，如图4。将x>2和x<10表示在同一条数轴上，它们的公共部分2

解由三个或更多个一元一次不等式组成的不等式组，所用的方法仍是“先各个击破，再取其交集”，只是要解的不等式更多些，找各个不等式的解集的公共部分时更复杂些而已。

不等式组是表示多个同时存在的不等关系的数学模型，并非每个不等式组都有解集，如果一个不等式组中各个不等式的解集不存在公共部分。则这个不等式组无解，例

等式（包括方程）是研究相等关系的重要工具，而不等式则是研究不等关系的重要工具，同学们掌握了不等式的有关知识后，就可以更好地分析和解决含不等关系的问题，方程（组）与不等式（组）之间既有差别，又有联系，对它们加以比较。既有助于温故知新。又能更好地认识数学知识体系。